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Herleitung - Rentenbarwert/endwertformel

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 12. Klassenstufe

Tags: Rentenrechnung-Rentenbarwert

Redlschlag aktiv_icon

15:56 Uhr, 05.06.2012

Hallo, hat irgendwer von euch eine Ahnung wie man diese beiden Formeln herleitet?
Hab leider keine Ahnung, find auch im Net keine nützlichen Infos.

lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Josef48

17:07 Uhr, 05.06.2012

Nachschüssige Rentenendwertformel:

Beispiel:
Eine 5-jährige Rentenzahlung mit einer jährlich-nachschüssigen Rentenrate von

100

Euro bei

p = 10 %

Jahreszins:

Rn

= 100 + 100 {(1,1)}^{1} + 100 {(1,1)}^{2} + 100 {(1,1)}^{3} + 100 {(1,1)}^{4}

.

Daraus kann man verallgemeinern:

R_{n} =

r+rq^1+rq^2+...+rq^(n-1)

Diese Gleichung kann man vereinfachen zu:

R_{n} = r (1 + q + q^{2} + . .

+ q^{n - 1})

Der Klammerausdruck dieser Gleichung ist eine geometrische Reihe von

n

Gliedern mit dem Anfangsglied

a 1 = 1

und dem konstanten Faktor

q

. Nach den Grundsätzen über die Summe einer geometrischen Reihe erhält man:

1 + q + q^{2} + ... + q^{n - 1} = 1 \cdot \frac{q^{n - 1}}{q - 1}

Setzt man diesen Ausdruck statt der Klammer in obige Gleichung ein, dann ergibt sich:

R_{n} = r \cdot \frac{q^{n - 1}}{q - 1}

Diese Gleichung bezeichnet man als die nachschüssige Rentenendwertformel.

Viele Grüße
Josef

Josef48

17:45 Uhr, 05.06.2012

Vorschüssige Rentenendwertformel:

R_{n} = 100 (1,1) + 100 {(1,1)}^{2} + 100 {(1,1)}^{3} + 100 {(1,1)}^{4} + 100 {(1,1)}^{5}

Diese Gleichung kann man verallgemeinern zu:

R_{n} =

rq+rq^2 +...+rq^n

Nach Ausklammern von

r

ergibt sich weiter:

R_{n} = r (q + q^{2} + ... + q^{n})

Der Klammerausdruck in dieser Geichung ist eine geometrische Reihe mit dem Anfangsglied

a 1 = q,

dem konstanten Faktor

q

und insgesamt

n

Gliedern. Die Summe dieser Reihe läßt sich ermitteln als:

q + q^{2} + ... + q^{n} = q \cdot \frac{q^{n - 1}}{q - 1}

Diesen Summenausdruck kann man statt der Klammer in obige Gleichung einsetzen:

R_{n} = r \cdot q \cdot \frac{q^{n - 1}}{q - 1}

Dies ist die vorschüssige Rentenendwertformel

Matlog aktiv_icon

17:53 Uhr, 05.06.2012

@Josef: Du meinst aber sicher

\frac{q^{n} - 1}{q - 1}

bei den geometrischen Reihen.

Josef48

18:01 Uhr, 05.06.2012

Ja! Selbstverständlich.

Viele Grüße
Josef

Redlschlag aktiv_icon

18:36 Uhr, 05.06.2012

Und für den RentenBARwert gehts analog?

Vielen vielen Dank Josef, Sie haben mir echt schon ziemlich weiter geholfen.

lg

Josef48

04:30 Uhr, 06.06.2012

Hallo,

um den Rentenbarwert zu berechnen, muss man nichts anderes tun, als den Rentenendwert um

n

Jahre abzuzinsen, denn aus der Zinseszinsrechnung kennen wir

K_{n} = K_{0} \cdot q^{n}

und für das Verhältnis von Rentenendwert und Rentenbarwert gilt entsprechend

R_{n} = R_{0} \cdot q^{n}

.

Löst man nach dem Barwert auf und setzt die Rentenendwertgleichung ein, so erhält man

R_{0} = r \cdot \frac{q^{n} - 1}{i \cdot q^{n}}

Viele Grüße
Josef

1009439

1009235

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