Herleitung Trägheitsmoment Kugel

HalloHallo ich sdfddscf 45t

${\displaystyle \mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{\rho <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\iiint {\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\cdot \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

das ist die definition des trägheitsmom... und in kugelkoords gilt:

${\displaystyle \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\cdot \mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\theta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ damit kommt man zu folgendem ergebnis:

nach der Integriererei kommt man auf folgendes ergebnis:

${\displaystyle \frac{{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^5}{5}\cdot 2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot 2\cdot \mathrm{\rho <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

die masse setzt sich zusammen nach 4/3 pi * r³ * roh...

jetzt stellt man fest dass sich das jedeoch um den faktor 2/3 vom Trägheitsmoment einer vollkugel unterscheidet.... dieser steht hier: matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=851&ref=http%3A%2F%2Fwww.uni-protokolle.de%2Fforen%2Fviewt%2F96943%2C0.html

auch dabei... es ist mir bewisst dass sich das Trägheitsmom des Scherpunktes (Isp) zusammensetzt zu : Isp =1/3 ( Ix + Iy + Iz) doch woher die 2/3 stammen sagt mir das auch nicht wirklich und darauf wird in der herleitung auch nicht weiter eingegangen vielleicht könnt ihr mir helfen, danke