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Herleitung der Gauß Summe durch Approximation

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Gaußsche Summenformel, Integration, Numerische Mathematik, Quadraturformel, trapezformel

vivanitheorem aktiv_icon

16:15 Uhr, 10.11.2016

Hallo meine lieben Mathematik Freunde!

Ich habe folgendes Problem:
Ich soll die Gauß'sche Summernformel

\sum_{0}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}

durch Approximation des Integrals

\int_{0}^{n} x d x

mittels der Trapez Quadraturformel herleiten. Klingt eigentlich trivial, aber ich stoße dabei auf folgende Problematik: die Trapezformel hat die Ordnung

s = 2

, d.h. die Trapezformel approximiert alle Funktionen vom Grad

\leq 1

EXAKT. Wenn ich nun die Trapezformel auf das Integral anwende komme ich auf folgendes:

\int_{0}^{n} x d x \approx \sum_{j = 0}^{N - 1} h_{j} \sum_{i = 1}^{s} b_{i} f (x_{j} + c_{i} h_{j}) = \sum_{j = 0}^{n} h_{j} \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{2} f (x_{j} + c_{i} h_{j}) =

= \sum_{j = 0}^{n} \frac{1}{2} (f (0) + f (0 + n)) = \frac{n}{2} (0 + n) = \frac{n^{2}}{2}

Wie wir sehen können, erhält man exakt das gleiche Ergebnis duch analytisches Integrieren der Funktion

f (x) = x

.

Hättet ihr eine Idee? Mach ich einen Fehler den ich übersehe?

Mit freundlichsten Grüßen aus Innsbruck

P.s.
Die Gewichte der Trapezquadraturformel sind

b_{1} = b_{2} = \frac{1}{2}

, die Knochen
sind

c_{1} = 0

und

c_{2} = 1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

10:55 Uhr, 11.11.2016

Hallo
du sagst ja selbst, dass die Trapezformel Geraden exakt integriert, dann kannst du dich über das Ergebnis nicht wundern.
Gruß ledum

Roman-22

12:07 Uhr, 11.11.2016

Mit der Trapezformel fallen mir nur drei Möglichkeiten ein, die beide so ein wenig das Gefühl von "sich mit der rechten Hand über Kopf am linken Ohr kratzen" haben:

1)

Mit dem Ansatz

\int_{0}^{n} x d x

und der Trapezformel berechnest du die Summe (Trapezflächen)

\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{5}{2} + ... + \frac{2 n - 1}{2} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{2 k - 1}{2} = \frac{n^{2}}{2}

(hast du mithilfe der Trapezformel ermittelt)
Auf deine gewünschte Summe

1 + 2 + 3 + ... + n = \sum_{k = 1}^{n} k

kommst du, indem du zu jedem Summanden

\frac{1}{2}

addierst, also

\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n^{2}}{2} + n \cdot \frac{1}{2}

und das liefert dir dann den Gauß.

2)

Berechne mithilfe der Trapezformel

\int_{\frac{1}{2}}^{n + \frac{1}{2}} x d x,

damit kommst du direkt auf die Gauß-Formel, denn jetzt sind die einzelnen Trapezflächen ganzzahlig.

3)

Du behandelst

\int_{0}^{n} (x + \frac{1}{2}) d x

mit der Trapezformel

Natürlich gehe ich bei allen drei Ansätzen davon aus, dass wir

n

Trapeze summieren, also die Trapezbreite jeweils gleich 1 ist.
Die drei Ansätze sind natürlich

i . W

. gleichwertig, es wird, auf die eine oder andere Art, der Summand

\frac{1}{2}

noch addiert um auf die gewünschte Summe zu kommen.
Das Wesentliche, worauf du bei deinem Ausführungen komplett vergessen zu haben scheinst, ist, dass du dir immer überlegst, WAS genau du da mit der Trapezformel eigentlich aufsummierst - wie groß also die einzelnen Trapezflächen sind.
Denn selbst wenn dir bei deinem Ansatz gleich die Gaußformel entgegengelacht hätte, wäre damit ja noch nichts bewiesen gewesen, solange du nicht ausführst, warum du damit genau diese oder jene Summe berechnet hast.
Überhaupt scheinst du bei deiner Berechnung ja bereits die Summenformel verwendet zu haben - da beißt sich dann ja die Katze in den Schwanz. Du musst also vielmehr davon ausgehen, dass im konkreten Fall (weil du eine lineare Funktion integrierst), die Summe der Trapezflächen GENAU das Integral ergibt und nur mit dieser Begründung und der Berechnung dieses Integrals hast du dann die Summenformel gezeigt.

R

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