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Herleitung der Volumenberechnung einer Pyramide

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper, Pyramide

pet1985er

10:05 Uhr, 23.02.2009

Kann mir jemand erkären wie man die Formel zur Volumenberechnung einer Pyramide herleiten kann(die Formel weiß ich schon). Bis jetzt hab ich gefunden das es mit dem Cavalieri'sches Prinzip und den Strahelnsätzen zusammenhängen muss. Wenn möglich auch noch Quellen zum nachlesen dazuschreiben.

thx für alle Antworten

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

Vespa aktiv_icon

10:26 Uhr, 23.02.2009

Schau mal hier ab Seite 5

http//www.math.uni-augsburg.de/prof/dida/lehre/ss08/gross_geo2/material/11_Volumen_Oberflaeche_Teil2.pdf

Edddi aktiv_icon

10:50 Uhr, 23.02.2009

...du brauchst keine Quellen-Nachweise.

Leite es selber nach einem einf. Prinzip mittels Strahlensatz her.

In einer Pyramide mit der Grundfläche

G

und der Höhe

h

lässt sich ein Quader mit der Grundfläche

\frac{G^{2}}{4}

und der Höhe

\frac{h}{2}

einbeschreiben.

Oberhalb des Quaders ist nun eine ähnliche Pyramide, mit halben Abmaßen. Daraus folgt, das sie

\frac{1}{8}

Volumen der ganzen Pyramide hat.

Die unteren 4 Eck-Stücken ergeben dasselbe Volumen, wie die obere Pyramide.

Die 4 Prisman haben dasselbe Volumen wie der Quader.

Daraus folgt:

2*kl. Pyramide

+

2*Quader = große Pyramide

oder als Formel:

2 \cdot \frac{1}{8} \cdot V_{P} + 2 \cdot \frac{G^{2}}{4} \cdot \frac{h}{2} = V_{P}

\frac{1}{4} \cdot V_{P} + \frac{2}{8} \cdot G^{2} \cdot h = V_{P}

\frac{2}{8} \cdot G^{2} \cdot h = V_{P} - \frac{1}{4} \cdot V_{P}

\frac{2}{8} \cdot G^{2} \cdot h = \frac{3}{4} \cdot V_{P}

\frac{1}{3} \cdot G^{2} \cdot h = V_{P}

...siehe Zeichnung im Anhang

:-)

pet1985er

10:56 Uhr, 23.02.2009

thx erstmal und was meinst du mit

G 24

und

18

Volumen

Edddi aktiv_icon

11:03 Uhr, 23.02.2009

...hast du den MathPlayer installiert?

Wahrscheinlich werden die Brüche bei dir nicht richtig dargestellt.

G 24

soll (G-Quadrat)/4 darstellen...da die Grundfläche des Quaders auf Grund der halben Größenabmessungen ja nur ein viertel der GPyramiden-Grundfläche hat.

und

18 V

soll 1-achtel Volumen heißen, da die Pyramide mit halben Größenabmessungen ja nur ein achtel Volumen hat.

...installier mal den MathPlayer...dann seh'n wir weiter...

:-)

pet1985er

11:22 Uhr, 23.02.2009

woher weiß ich das

z . B

. die obere Pyramide

\frac{1}{8}

des Volumen der Pyramide hat oder das die 4 Prisemen des gleiche Volumen wieder Quader hat

Edddi aktiv_icon

11:36 Uhr, 23.02.2009

...dies ist eine Eigenschaftes des Raumes an sich.

Lässt du einen Körper wie er ist, und vergrößerst du den Maßstab des Koordinatensystems

(\in

unserem Falle um den Faktor

2),

so verringern sich alle Volumina auf

\frac{1}{8}

des urprünglichen Wertes.

Nimm als Beispiel einen Würfel. In einen doppelt so großen Wurfel passen 8 Stk. der ursprünglichen Würfel...und das gilt nicht nur für den Würfel.

Generell gilt für eine Verdopplung der Größen eine Vervierfachung der Flächen und eine Verachtfachung des Volumens.

Jetzt zu den Prismen:
Die Prismen haben ja die gleiche Höhe wie der Quader, und auch die gleiche Länge.
Nur die Breite ist nur halb so groß.

D . h

. 2 Prismen lassen sich zu einem halben Quader zusammenlegen.
(Achtung, wenn die Grundfläche nicht quadratisch, ist's ein bißchen anders, aber es kommt zum Schluss das Gleiche raus.)

Am besten machst du dir mal 'ne Skizze mit der Projektion von einer Seite, dann sieht man es gut...

:-)

pet1985er

11:42 Uhr, 23.02.2009

thx das hab ich jetzt kapiert, kann mir jemand den Beweis über Cavalieri erklären

Edddi aktiv_icon

12:21 Uhr, 23.02.2009

Generell gilt für Kegel, egal welche Form die Grundfläche hat:

G \approx h^{2}

und damit:

{(\frac{h_{0}}{h})}^{2} = \frac{G_{0}}{G}

G = \frac{G_{0}}{h_{0}^{2}} \cdot h^{2}

Jetzt integrieren wir die Flächen über die Höhe:

V = \int_{0}^{h} G

= \int_{0}^{h} \frac{G_{0}}{h_{0}^{2}} \cdot h^{2}

= \frac{G_{0}}{h_{0}^{2}} \cdot \int_{0}^{h} h^{2}

= \frac{1}{3} \cdot \frac{G_{0}}{h_{0}^{2}} \cdot h^{3}

für

h = h_{0}

ergibt sich somit:

V = \frac{1}{3} \cdot G_{0} \cdot h_{0}

:-)

pet1985er

15:22 Uhr, 23.02.2009

Sorry aber ich versteh da nur Bahnhof

Edddi aktiv_icon

15:29 Uhr, 23.02.2009

...Integrale kennst du?

:-)

pet1985er

15:44 Uhr, 23.02.2009

Nein

HappyTeDDy112 aktiv_icon

22:44 Uhr, 18.01.2011

Zu der Pyramide nochmal

...

. du hast die Grundfläsche nochmal zum quatrat genommen was ein fehler war aber sonst alles top :-) hat mir sehr geholfen

also

2 \cdot \frac{1}{8} \cdot

+ 2 \cdot \frac{G}{4}

\cdot \frac{h}{2} =

... .

. usw...

Edddi aktiv_icon

07:06 Uhr, 19.01.2011

...da hast du Recht, ich hab' da einen syntaktischen Fehler drin.

G

ist natürlich die Grundseite der Pyramide.

Dessen Grundfläche ist dann

G^{2}

und die Grundfläche des Quaders ist dann

\frac{G^{2}}{4} .

Die Formeln sind somit alle korrekt, nur der erste Satz mit "... Grundfläche G..." ist falsch.
Richtig wäre der Satz mit "... Grundfläche G^2..."

;-)

OnlineMax aktiv_icon

16:31 Uhr, 13.02.2018

Kurze Frage, wie kommst du den genau auf die G²/4 und die

\frac{h}{2}

danke für mögliche Rückmeldungen.
Gruß Max

JulianDexter aktiv_icon

21:48 Uhr, 24.06.2019

Ich denke mit Ghoch2 wurde falsch geschrieben, so wie ich es verstehe braucht man das hoch2 garnicht, da dieses schon im Flächeninhaltzeichen steckt und

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