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Herleitung der Wahrscheinlichkeitsstromdichte

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Komplexe Zahlen

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Differentiation, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Komplexe Zahlen, Nabla-Operator, Physik, Wahrscheinlichkeit

 
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LarsMcLuc

LarsMcLuc aktiv_icon

13:14 Uhr, 26.11.2015

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Hi^^

Ich versuche gerade die Herleitung der Wahrscheinlichkeitsstromdichte in der Quantenmechanik für nicht zeitabhängige Potentiale zu verstehen. Eigentlich habe ich bis zur Form

j⃗(r⃗,t)=ℏ2mi⋅[Ψ*∇Ψ-Ψ∇Ψ*]

alles verstanden, jetzt steht dann in der nächsten Zeile:

j⃗(r⃗,t)=ℜ[ℏmiΨ*∇Ψ]

Ich denke mal dass ich irgendwie zeigen muss, dass Ψ∇Ψ* gleich -(Ψ*∇Ψ)* ist, dann hätte ich ja eine komplexe Zahl addiert mit ihrer Konjugierten, was 2 mal dem Realteil entspricht. Nur sehe ich leider nicht, wie ich darauf kommen sollte?

Danke für eure Hilfe,
Liebe Grüße

LML

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:01 Uhr, 26.11.2015

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Für jeden Operator A gilt <Ax,x>=<x,A*x>=<A*x,x>¯, daher A=A*¯.

Insbesondere gilt Ψ∇Ψ*=(Ψ∇Ψ*)*¯=Ψ**∇Ψ*¯=Ψ∇Ψ*¯.

Deshalb Ψ∇Ψ*-Ψ*∇Ψ=Ψ∇Ψ*-Ψ∇Ψ*¯=2iIm(Ψ∇Ψ*) und dann
2Re(hmiΨ∇Ψ*)=2Im(hmΨ∇Ψ*)=hmi⋅(2iIm(Ψ∇Ψ*)=hmi(Ψ∇Ψ*-Ψ*∇Ψ).