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Hesse-Matrix :Definitheit bestimmen
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Funktionalanalysis
Matrizenrechnung
Tags: Differentiation, Funktionalanalysis, Matrizenrechnung
 
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Guten Abend zusammen, Ich studiere im ersten Semester WiWi an der Uni Hohenheim. Natürlich behandeln wir im Rahmen des Grundstudiums auch wesentliche Themen aus der Differenzialrechnung (mehrerer Veränderlicher). Meine Vorkentnisse in Mathematik entsprechen dem Stoff der Schulmathematik.Habe mein Mathe-Abi mit Punkten abgeschlossen.Befasse mich im Studium jetzt das erste Mal mit Dif-Rechnung mehrerer Veränderlicher. Grundsätzlich werden die meisten Überlegungen aus der Analysis 1,also der Rechung mit einer Veränderlicher,auf den n-dimensionalen Raum übertragen. Das ist also grundsätzlich nicht das Problem, sondern Sachverhalte,die für das Verständnis themenübergreifende Überlegungen erfodern. So zum Beispiel in der Extremwertbestimmung das Heranziehen von Matrizen. Hatte solchen Stoff nie und bin daher nicht gewohnt mit solchen Themen umzugehen. Habe eine Verständnisfrage bezüglich der Überprüfung von Funktionenen mit n-Veränderlichen auf Extrema und Sattelpunkte. Ich habe im Anhang ein Auschnitt aus meinem Mathe-"Skript" beigefügt. In der Mathevorlesung habe ich nicht sonderlich viel verstanden und habe nun Probleme beim Nachvollziehen des Formalismus. Mir leuchtet nicht ein was die Definiton der positiven und negativen Definitheit hier genau aussagt, Was kann ich mir darunter vorstellen? Für was brauche ich diese Defintion bzw. wie kann ich sie in der Praxis anwenden? Mir fehlt es an Veranschaulichung und deshalb wäre ich sehr froh, wenn mir jemand zu dieser Definiton ein konkretes Beispiel geben könnte, also "mit Zahlen" sag ich jetzt mal ganz banal. Außerdem wäre ich daran interessiert wenn mir jemand beantworten könnte was genau bedeutet und auch wie ich mir diese Doppelsumme veranschaulichen kann. Dass die Hesse Matrix die verschiedenen 2. partiellen Ableitungen anzeigt und zur Extremwertüberprüfung gebraucht wird, weiß ich. Könnte mir jemand ein Beispiel dazu geben bzw diese Formel veranschaulichen? Der Text, wie gesagt, bezieht sich auf den Anhang. Beste Grüße und danke im Vorraus  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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anonymous 00:18 Uhr, 26.01.2014 |
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Wie so oft, ist das ganze in der Anwendung viel einfacher als es in der Theorie formuliert wird. Der Ausdruck ist der zu transponierte Vektor, . aus einem Spaltenvektor wird ein Zeilenvektor. Aufgrund der Matrixmultiplikationsregeln, muss vor der Matrix ein Zeilenvektor stehen, wenn nach der Matrix ein Spaltenvektor steht. Zum Verständnis der Hessematrix können wir ja mal folgendes Beispiel durchgehen: Sei . Man bestimme die lokalen Extrema der Funktion. Das ist die typische Anwendungsaufgabe für die Hessematrix. Wie im eindimensionalen Fall hat man nun zunächst die notwendige Bedingung zu prüfen. Für den eindeutigen Nachweis eines Extrempunktes ist dann noch die hinreichende Bedingung zu prüfen. Angewendet für den zweidimensionalen Fall muss dann also zunächst berechnet werden: Dies muss dann einmal berechnetr werden (es ist nützlich, hier auszuklammern!). Im folgenden muss dann untersucht werden, wann . Mit der eben durchgeführten Rechnung sollte sich dann sehr schnell ablesen lassen, dass die Bedingung für erfüllt ist. (Die Bedingung muss natürlich stets für beide Vektorkomponenten erfüllt sein). Dann setzt man dies mal in die Klammerausdrücke in ein und ermittelt auf diese Weise die anderen Nullstellen. Weitere mögliche Extremstellen sinn dan: was du einmal gründlich nachrechnen solltest. Insgesamt sind es also 5 mögliche Stellen. Jetzt kommt die hinreichende Bedingung und wir nähern uns der Hessematrix. Die Hessematrix ist nichts anderes als die Matrix, die die zweiten partiellen Ableitungen von enthält, also Jetzt berechnest du "einfach" die vier Komponenten. Das ist ein wenig mühsames Rumgerechnet, aber übt. Wenn du die einzelnen Terme für die Matrixkomponenten hast, dann setzt du am Ende nur noch deine zuvor berechneten 5 möglichen Extremstellen ein. Auf der Hauptdiagonalen stehen dann die Eigenwerte. Wenn diesebeide positiv sind, ist die Hessematrix positiv definit und es liegt ein Minimum vor, wenn sie negativ sind, ist sie negativ definit und es liegt ein Maximum vor, wenn gemischte Terme auftreten, liegt kein Extremum vor. Exemplarisch für den Fall Eigenwerte und beide positiv, also positiv definit. In liegt ein lokales Minimum vor. Analog für die anderen Fälle. Zur Überprüfung: In liegt ein Maximum vor, in auch. Bei den anderen beiden Fällen liegt kein Extremum vor. Für die konkreten Punkte erhälst du, wenn du sie in die Hessematrix einsetzt, auf der Hauptdiagonalen die Eigenwerte. Aus diesem Grunde kann man die Definitheit der Matrix ablesen. Sonderlich anschaulich ist es sonst nicht, im Wesentlichen Definition. Hinweis: Diese Aufgabe ist eine klassische Übungsaufgabe. Vom Typ her auch eine klassische Klausuraufgabe. Aufgrund der aufwändigen Rechnungen allerdings nicht für eine Klausur geeignet. Das Prinzip sollte aber auf jeden Fall verstanden sein. Die Extremwertuntersuchung ist ja eine der klassischen Anwendungsbereiche der Differentialrechnung und insbesondere für die Wirtschaftswissenschaften von besonderer Bedeutung. |
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Hallo Apollonios, Erstmal Vielen Dank Für deine ausführliche Antwort! Habe noch 2 Fragen zur Definitheit: Du meinst die Eigenwerte müssen beide positiv sein -> dann Minimum und wenn die beiden Eigenwerte negativ -> Maximum. Ich finde das hört sich logisch an, wenn man dazu Überlegungen der Dif-Rechnung einer Veränderlichen heranzieht und auch geometrisch kann ich mir das "vorstellen". 1. Bei gemischten EW läge ja ein Sattel vor, richtig? 2. Ich habe im Anhang einen weiteren Auszug aus meinem Skript beigefügt, weil hier die hinreichende Bed. für Minima und Maxima "anders" (zumindest erkenne ich die Analogie zu "deiner Erklärung" noch nicht richtig) definiert ist. Wenn du mir eventuell illustrieren könntest wo die Analogie zu erkennen ist. Mein Problem: Da steht ja, dass die Determinante für max und min beides mal größer null sein muss. Weiterhin muss der Eigenwert "links oben" kleiner null sein für ein Max. bzw größer Null für ein Min. Wenn die Determinante kleiner null ist -> Sattel. Ich verstehe, dass die Determinante zwangsläufig negativ wird falls wir einmal einen pos. und einmal einnen neg. Eigenwert haben. (Dann steht da ja in der "Formel" für die Determinante etwas Negatives subtrahiert mit etwas Negativem (weil der gemischte Wert ja quadriert wird, ist er zwangsläufig auch negativ, da das ganze ein negatives Vorzeichen hat)) Also der Fall Sattelpunkt ist somit abgehakt und deckt sich für mich auch ersichtlich mit deiner Definition. Aber was wäre denn jetzt (z.b) wenn beide Eigenwerte positiv wären und die Determinante trotzdem negativ würde? (Weil der gemischte Wert ja negativ ist,könnte das ja theoretisch passieren,oder?) -> Somit hätten wir ja 2 mal einen Eigenwert > 0 und trotzdem eine Determinante die < 0 ist. Also auch einen Sattel laut "meiner Definition". Meine Frage ist nun, wo ist mein Denkfehler? Und wo ist der Unterschied zwischen der Definiton, die du mir dargestellt hast und meiner, die im Skript steht? Beste Grüße  |
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anonymous 22:04 Uhr, 26.01.2014 |
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In meinen zahlreichen Aufgaben dazu kamen für die gemischten Terme stets 0 raus. Die Nullstellen des Gradienten von der zu untersuchenden Funktion waren also immer so, dass mindestens eine Koordinate den Wert Null hatte. Die entsprechenden Hessematrixelemente waren dann so aufgebaut, dass in den Termen und in einem Produkt standen oder so ausgeklammert waren, dass der gesamte Ausdruck 0 wurde) Nur dadurch ließen sich die Aufgaben überhaupt berechnen. Unter der Annahme, dass das "immer" so ist, folgt dann, dass die Definition in deinem Skript mit meiner übereinstimmt, weil die gemischten Terme immer verschwinden. Wenn die Determinante der Hessematrix positiv ist, das Element oben links aber positiv ist, so muss auch das unten rechts positiv sein. Es liegt ein Minimum vor (ich hatte gesagt, dass die Eigenwerte, welche ja die Diagonalelemente sind, positiv sein müssen. In meiner Vorlesung haben wir für den Fall, dass die Diagonalelemente unterschiedliches Vorzeichen haben nur ausgesagt, dass kein Extremum vorliegt. Dass ein Sattelpunkt vorliegt, haben wir nicht explizit gesagt bekommen. Es steht ja in deinem Skript und macht auch Sinn. Ich kann es hier jetzt aber nicht näher begründen. |
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Okay alles klar, danke für deine Hilfe! |
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