Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Hesse-Matrix: wozu Determinante?

Hesse-Matrix: wozu Determinante?

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Differentialgleichungen

St4tic aktiv_icon

14:52 Uhr, 25.07.2010

Hallo,

ich habe mal wieder eine Frage.
Undzwar habe ich eine Aufgabe, die die Erstellung einer Hesse-Matrix erfordert. Leider bin ich damit irgendwie überfordert.
Ich poste einfach mal das, was ich bis jetzt gemacht habe.

Ich bin zu diesen partiellen Ableitungen gelangt (diese sind auch richtig, habe ich bereits mit der Musterlösung verglichen):

Pd(xd,xe)= -4xd+15
Pe(xd,xe)= -3xe+10

Wenn man diese Ableitungen gleich 0 setzt erhält man die "stationary points" xd=

\frac{15}{4}

und xe=

\frac{10}{3}

also die Punkte, an denen die Ableitungen jeweils 0 sind.

Nun soll das ganze zu einer Hesse-Matrix gemacht werden

H :

| Pdd(xd,xe) Pde(xd,xe) |
| Ped(xd,xe) Pee(xd,xe) |

= - 4, 0

0, - 3

- 4 < 0

ist es ein relatives minimum

So nun steht auf meinem Zettel:

det H

(xd,xe)

= 12 > 0

Weshalb da

12

steht, verstehe ich, aber nicht warum ich das überhaupt mache.

Das Endergebnis ist xd=

\frac{15}{4}

und xe=

\frac{10}{3}

P . S

. Falls es jemandem hilft, es geht darum die Produktionslevel zweier Märkte zu errechnen, welche den größten Profit mit sich ziehen.

Vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

smoka

20:39 Uhr, 25.07.2010

Hallo,

voerst: Das hat alles nichts mit partiellen Differentialgleichungen zu tun!
Weiterhin ist es oft hilfreich, die Aufgabenstellung zu posten wenn man bei einer Aufgabe Hilfe benötigt ;-)

Ich kann nicht nachvollziehen, was Du mit "Pd(xd,xe)=-4xd+15" meinst, was soll das heißen?

Wenn ich das richtig entziffert habe, sieht die Hessematrix so aus:

H = (\begin{array}{cc} - 4 & 0 \\ 0 & - 3 \end{array})

unabhängig davon, ob die Einträge in der Matrix stimmen, ist "da -4<0 ist es ein relatives minimum" sicher kein Kriterium um eine Aussage über lokale Extrema zu machen.

"Weshalb da 12 steht, verstehe ich, aber nicht warum ich das überhaupt mache."
Ohne Aufgabenstellung wird wohl niemand verstehen können, was Du da machst.

OmegaPirat

21:18 Uhr, 25.07.2010

also mit der Notation

P d (x d, x e) = - 3 x d + 15

ist wahrscheinlich

\frac{\partial f (x_{d}, x_{e})}{\partial x_{e}} = - 3 x_{d} + 15

gemeint, wobei

f (x_{d}, x_{e})

eine funktion ist

Betrachten wir einfach mal den allgemeinen Fall mit zwei unabhängigen
Wir haben eine beliebige Funktion

f (x, y)

und wollen sie hinsichtlich minima und maxima untersuchen. Zunächst müssen die ersten Ableitungen nach beiden Variablen null sein. Das ist offenbar nicht dein Problem.
An den Stellen an denen die ersten Ableitungen alle null sind, liegt möglicherweise ein Extrempunkt vor. Kann muss aber nicht. Als nächstes stellt man die Hessematrix auf. Die sieht dann so aus.

(\begin{matrix} \frac{\partial^{2} f (x, y)}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f (x, y)}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^{2} f (x, y)}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^{2} f (x, y)}{\partial y^{2}} \end{matrix})

Ob nun ein Minimum oder Maximum vorliegt, liest man an der Definitheit der Hessematrix ab. Eine Matrix ist positiv definit, wenn die Determinanten der Hauptminoren alle positiv bzw. negativ definit wenn die Determinanten Hauptminoren alle negativ sind.

Die Hauptminoren einer Matrix sind alle Untermatrizen die du erhälst, wenn du nach und nach immer die unterteste zeile und die am weitesten rechts liegende spalte der Matrix streichst.

Ist die Hessematrix positiv definit so liegt ein lokales Minimum vor, ist sie negativ definit so liegt ein lokales Maximum vor.
Im zwei dimensionalen fall hieße dies, dass man sowohl die Determinante der

2 x 2

Matrix

A_{2} = (\begin{matrix} \frac{\partial^{2} f (x, y)}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f (x, y)}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^{2} f (x, y)}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^{2} f (x, y)}{\partial y^{2}} \end{matrix})

als auch von der

1 x 1

Matrix

A_{1} = \frac{\partial^{2} f (x, y)}{\partial x^{2}}

untersuchen

Es ist dann

det (A_{2}) = \frac{\partial^{2} f (x, y)}{\partial x^{2}} \frac{\partial^{2} f (x, y)}{\partial y^{2}} - {(\frac{\partial^{2} f (x, y)}{\partial x \partial y})}^{2}

und

det (A 1) = \frac{\partial^{2} f (x, y)}{\partial x^{2}}

ch beschränke mich bei den weiteren Betrachtungen auf das Maximum. Die Betrachtungen zum Minimum erfolgen analog.
Fürs Maximum muss gelten:

det (A_{1}) < 0

und

det (A_{2}) < 0

Das ist das hinreichende Kriterium für ein lokales Maximum.
Du hast lediglich

det (A_{1})

untersucht, man muss aber auch

det (A_{2})

untersuchen.

St4tic aktiv_icon

12:06 Uhr, 26.07.2010

Vielen Dank für die Antworten. Hier kommt nun die dazugehörige Aufgabe.

A firm charges different prices for its good to its domestic and export markets. In the domestic market its demand function is given by:

Pd(xd)= 20-2xd

while in the export market its demand function is given by

Pe(xe)= 15-1,5xe

The total cost function is

C(xd,xd)= 5*(xd+xe)

Question:
What level of outputs should the firm sell in each market in order to maximize profit?

Yokozuna aktiv_icon

13:04 Uhr, 26.07.2010

Und was ist jetzt Deine Frage? Geht es immer noch darum, ob die Hesse-Matrix negativ definit ist?

In der Musterlösung scheint das mit Hilfe des Hauptminorenkriteriums gemacht worden zu sein. Eine Matrix A ist genau dann negativ definit, wenn die Hauptminoren von -A alle positiv sind oder äquivalent, falls alle ungeraden Hauptminoren von A negativ und alle geraden Hauptminoren von A positiv sind. Die Hauptminoren der Hessematrix

$H = (\begin{matrix} - 4 & 0 \\ 0 & - 3 \end{matrix})$ sind $\det (- 4) = - 4$ und $\Rightarrow \det (\begin{matrix} - 4 & 0 \\ 0 & - 3 \end{matrix}) = 12 \Rightarrow$ H ist negativ definit.

Es gibt aber auch noch andere Kriterien für negative Definitheit, z.B., wenn alle Eigenwerte der Matrix negativ sind:

$\Rightarrow \det (\begin{matrix} - 4 - λ & 0 \\ 0 & - 3 - λ \end{matrix}) = (- 4 - λ) \cdot (- 3 - λ) \Rightarrow λ_{1} = - 4 < 0 \land λ_{2} = - 3 < 0$

oder wenn

$(\begin{matrix} x_{1} & {\begin{matrix} x \end{matrix}}_{2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 4 & 0 \\ 0 & - 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} {\begin{matrix} x \end{matrix}}_{1} \\ {\begin{matrix} x \end{matrix}}_{2} \end{matrix}) = - 4 \cdot {\begin{matrix} x_{1} \end{matrix}}^{2} - 4 \cdot {\begin{matrix} x_{2} \end{matrix}}^{2} < 0$

ist für alle $(\begin{matrix} {\begin{matrix} x \end{matrix}}_{1} \\ {\begin{matrix} x \end{matrix}}_{2} \end{matrix}) \neq (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})$ , was hier offensichtlich der Fall ist.

St4tic aktiv_icon

14:10 Uhr, 26.07.2010

Okay, vielen Dank für deine Antwort.

Meine Frage war, weshalb ich die Determinante überhaupt berechne. Aber scheinbar dient das einfach nur der Überprüfung, bzw. ist es ein Kriterium um zu bestimmen ob es nun ein Maximum oder Minimum gibt.

Danke.

Yokozuna aktiv_icon

14:18 Uhr, 26.07.2010

Ja, genau so ist es. Hesse-Matrix positiv definit bedeutet Minimum und Hesse-Matrix negativ definit bedeutet Maximum.

779033

778898

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?