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Hessesche Normalform der Ebene mit einem Alpha

Universität / Fachhochschule

Tags: eben, Hessesche Normalenform, Vektor

lpk93 aktiv_icon

12:12 Uhr, 29.01.2016

Guten Tag,

ich habe eine Frage zu einer Aufgabe. Und zwar sind drei Punkte gegeben:

A = (1,2,3), B = (1,7,0), C = (- 1,4, α)

mit

α \in ℝ

Ich soll nun die Hesse'sche Normalform der Ebene bestimmen.

a)

Bestimmen Sie die Hesse'sche Normalform der Ebene, in der

A, B, C

liegen.

E : N_{0} \cdot x - c = 0

An sich ist das ja nicht schwer. Ich habe aus den drei Punkten eine Ebene erstellt

E : x = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ - 3 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ α - 3 \end{matrix})

Der Normalenvektor ist ja das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.

(\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ - 3 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ α - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 α - 9 \\ 6 \\ 10 \end{matrix})

Beim normieren stellt sich mir die Frage, ob dies denn so richtig ist.

Der normierte Vektor:

\frac{1}{\sqrt{{(5 α - 9)}^{2} + 6^{2} + 10^{2}}} \cdot (\begin{matrix} 5 α - 9 \\ 6 \\ 10 \end{matrix})

Und dann muss ich ja noch das

c

berechnen aus

n_{0}

und dem Ortsvektor.

Kann mir da jemand weiterhelfen?

MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

DrBoogie aktiv_icon

13:52 Uhr, 29.01.2016

"Beim normieren stellt sich mir die Frage, ob dies denn so richtig ist."

Richtig.

"Und dann muss ich ja noch das c berechnen aus n0 und dem Ortsvektor."

Einfach z.B. den Punkt

B

in die Gleichung einsetzen.

lpk93 aktiv_icon

18:20 Uhr, 29.01.2016

Ok. Für

x

habe ich

B

eingesetzt und mit dem normierten Normalenvektor das Skalarprodukt gebildet.

c = (\frac{5 α - 9}{\sqrt{{(5 α - 9)}^{2} + 136}}) + (\frac{42}{\sqrt{{(5 α - 9)}^{2} + 136}})

Somit lautet die Hessesche Normalform

E : (\frac{1}{\sqrt{{(5 α - 9)}^{2} + 6^{2} + 10^{2}}}) (\begin{matrix} 5 α - 9 \\ 6 \\ 10 \end{matrix}) \cdot x - (\frac{5 α - 9}{\sqrt{{(5 α - 9)}^{2} + 136}}) + (\frac{42}{\sqrt{{(5 α - 9)}^{2} + 136}}) = 0

Wenn das richtig sein sollte, dann wird es eine Katastrophe damit weiter zu rechnen...

rundblick aktiv_icon

19:08 Uhr, 29.01.2016

.

"eine Katastrophe damit weiter zu rechnen.."

... ... ... ... ... ... . .

. wieso ?
du hast doch richtig

\to

HNF von

E \to \frac{1}{| \vec{n} |} \cdot [(5 a - 9) x + 9 y + 10 z + (5 a + 33)] = 0

oder?
wo ist da noch ein Problem?

.

lpk93 aktiv_icon

20:13 Uhr, 29.01.2016

Ich muss mit dieser HNF noch zwei weitere Aufgaben lösen.
Unter anderem:
Für welche

α \in ℝ

hat der Punkt

P = (- 1,24,30)

minimalen Abstand von dieser Ebene?

Da scheint es mir etwas umständlich wegen der Normierung.

Gibt es einen Unterschied zwischen der HNF wie ich sie angegeben habe und deiner Koordinatenform? Sprich, wäre es falsch, die Koordinatenform als Lösung anzugeben?

rundblick aktiv_icon

20:27 Uhr, 29.01.2016

.
"Für welche α∈ℝ hat der Punkt

P = (- 1,24,30)

minimalen Abstand von dieser Ebene?"

Tipp:
setze die Koordinaten von

P

ein in die HNF von

E

und du wirst dessen Abstand

d

von

E

als Funktion von a erhalten
also:

\to d (a) =

?

und wie du dann Extrema dieser Funktion problemlos ermittelst,
davon solltest du schon mal gehört haben - oder ?

ok?

hm ? was machst du so lange? - oder willst du gar nicht weitermachen ?
.. es sind ja (wegen der speziellen Daten von

P)

nur ganz wenige Zeilen bis zum Erfolg..
.

lpk93 aktiv_icon

20:56 Uhr, 29.01.2016

Also:

d (α) : (\frac{1}{\vec{n}}) \cdot ((5 α - 9) (- 1) + 6 \cdot 24 + 10 \cdot 30 - (5 α + 33))

d (α) : (\frac{1}{\vec{n}}) \cdot (- 10 α + 420)

rundblick aktiv_icon

21:02 Uhr, 29.01.2016

\frac{1}{| \vec{n} |} \cdot

[

(5a−9)x+9y+10z+(5a+33)]=0

nein - wenn ich es richtig sehe steht in der eckigen Klammer ein

+

vor

(5 a + 33)

oder ?

also

\to d (a) =

?

hm? .. schon wieder "Sendeschluss" ??
.

lpk93 aktiv_icon

21:12 Uhr, 29.01.2016

Dann sieht das natürlich anders aus. Aber berechnet man die Koordinatenform nicht so:

(\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} \to \vec{x} \cdot \vec{n} - \vec{p} \cdot \vec{n}

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 α \\ 6 \\ 10 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 α \\ 6 \\ 10 \end{matrix})

(5 α - 9) x + 6 y + 10 z - (5 α + 33) = 0

???

Falls es mit dem plus doch richtig ist:

d (α) : 486 \cdot (\frac{1}{\sqrt{{(5 α - 9)}^{2} + 136}})

d (α) : \frac{486}{\sqrt{{(5 α - 9)}^{2} + 136}}

rundblick aktiv_icon

21:35 Uhr, 29.01.2016

.
ok - habe es nochmal kontrolliert

\to

du hast Recht

\frac{1}{| \vec{n} |} \cdot

[

(5a−9)x+9y+10z-(5a+33)]=0

das ist schade , macht die Arbeit dann leider etwas grösser, wenn
der x-Wert von

P

nun wirklich

- 1

ist ? (kontrolliere

!)

aber egal
dann würde dein vorheriges Ergebnis stimmen

\to d (a) = \frac{1}{| \vec{n} |} \cdot [- 10 a + 420]

also

d (a) = - 10 \cdot \frac{a - 42}{\sqrt{{(5 a - 9)}^{2} + 136}}

mach nun halt damit weiter
.

lpk93 aktiv_icon

21:39 Uhr, 29.01.2016

Der x-Wert ist leider

- 1

Ich werde jetzt mal eine Pause einlegen. Ich schreibe später, oder morgen, was ich rausbekomme.

Vielen Danke für die Hilfe!

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