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Hesse'sche Normalform mit nur 2 Punkten angeben?

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Hessesche Normalenform, HNF, Vektor

Zimtos aktiv_icon

16:09 Uhr, 27.03.2014

Hallo, wie kann man die Hessesche Normalform aufstellen, wenn man nur 2 Punkte und den Abstand zum Koordinatenursprung gegeben hat?

Meine Aufgabe lautet:

"Bestimme die HNF einer Ebene in

R^{3},

die den Abstand 1 vom Nullpunkt hat und die Punkte

(3,0,0)

und

(0, - \frac{3}{2}, 0)

enthält.

Tipp: Zuerst HNF aufschreiben und dann einsetzen!"

Ich habe schon überlegt den Vektor der Punkte zu nehmen und eine orthogonale Projektion durchzuführen, damit ich so den Normalenvektor der Ebene bekomme. aber ich glaube, das würde nur funktionieren, wenn die XY-Ebene parallel zu der gesuchten wäre? Wie kann ich sonst vorgehen?

Vielen Dank im Voraus
Zimtos

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

DrBoogie aktiv_icon

16:15 Uhr, 27.03.2014

Der Tipp ist doch gut.
Die allgemeine Form ist

a x + b y + c z + d = 0

.
Man kann bekannte Punkte da einfach einsetzen.
Schwieriger wird es nur mit dem Abstand. Aber da hilft, dass der Vektor, der den Abstand "herstellt", eine Normale zur Ebene sein muss, und eine Normale hat Koordinaten

(a, b, c)

(modulo ein "Längenfaktor").

Zimtos aktiv_icon

16:33 Uhr, 27.03.2014

Ok, dann weiß ich also dass:

a 3 + b 0 + c 0 = d

und

a 0 + b \cdot - \frac{3}{2} + c 0 = d

und

\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = 1,

aber wie bringe ich das nun in Zusammenhang mit meiner Ebene?

funke_61 aktiv_icon

16:33 Uhr, 27.03.2014

Hallo,
ich glaube man kommt mit der Darstellung

\vec{x} \cdot \vec{n_{0}} = d

gut voran.

Für

\vec{x}

je einen gegebenen Punkt einsetzen.

d

ist immer

1,

da gegeben.
dies ergibt zwei bestimmungsgleichungen für die

x -

und die y-Komponenete des Einheits-Normalenvektors

\vec{n_{0}}

.
Da der Einheits-Normalenvektor die Länge 1 haben soll, lässt sich problemlos noch seine z-Komponenete bestimmen.
;-)

Zimtos aktiv_icon

17:12 Uhr, 27.03.2014

Danke Funke_61, aber ich komme immer noch nicht auf die Lösung

: (

Habe jetzt für

x = \frac{1}{3}

und für

y = - \frac{3}{2}

Habe dann versucht über

\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(- \frac{3}{2})}^{2} + {(z)}^{2}} = 1

z

auszurechnen, aber da kommt eine (zumindest in R)undefinierte Zahl bei raus, was habe ich falsch gemacht?

Matlog aktiv_icon

17:30 Uhr, 27.03.2014

Bei

y = - \frac{3}{2}

(eigentlich

b = - \frac{3}{2}

mit Deinen früheren Bezeichnungen) hast Du Dich verrechnet!

Zimtos aktiv_icon

18:39 Uhr, 27.03.2014

Oh ja, jetzt hat's auch geklappt, vielen Dank euch :-)

funke_61 aktiv_icon

10:18 Uhr, 28.03.2014

Bitte bedenke, dass für

c

zwei verschiedene Lösungen existieren:

\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(- \frac{2}{3})}^{2} + c^{2}} = 1

\frac{1}{9} + \frac{4}{9} + c^{2} = 1

c^{2} = 1 - \frac{5}{9}

c^{2} = \frac{4}{9}

c_{1,2} = \pm \frac{2}{3}

Schnittpunkt der gesuchten Ebene mit der z-Achse ist also entweder bei

(0, 0, \frac{2}{3})

oder bei

(0, 0, - \frac{2}{3})

.
Also erfüllen zwei verschiedene Ebenen die in der Aufgabenstellung genannten Bedingungen:
HNF

E_{1} : \frac{1}{3} x - \frac{2}{3} y + \frac{2}{3} z = 1

und
HNF

E_{2} : \frac{1}{3} x - \frac{2}{3} y - \frac{2}{3} z = 1

;-)

Zimtos aktiv_icon

11:24 Uhr, 28.03.2014

Ah stimmt, danke für den Hinweis :-)

anonymous

11:29 Uhr, 25.03.2016

Hey,

da ist

n

Fehler. Du ziehst die Wurzel aus einer vorher potenzierten Zahl. Wieso ist das Ergebnis die Potenz der Brüche? Da stimmt was nicht.
Nach meiner Berechnung müsste

c = 0

sein.
Damit ergibt sich nur eine Ebene.

\frac{1}{3} x - \frac{2}{3} y + 0 c = 1

Matheboss aktiv_icon

11:59 Uhr, 25.03.2016

@ chemistrymath

Meinst Du funke um

10 : 18 h

?

Wo soll hier etwas nicht stimmen?

Ist korrekt!

anonymous

12:17 Uhr, 25.03.2016

Genau.

\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(- \frac{2}{3})}^{2} + c^{2}}

sollte doch

\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + c

ergeben?
Oder liege ich völlig falsch?

Fehler erkannt. Erst Potenzieren, dann Wurzel. Mein Fehler

michaL aktiv_icon

12:28 Uhr, 25.03.2016

Hallo,

>

\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(- \frac{2}{3})}^{2} + c^{2}}

sollte doch

\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + c

ergeben?
> Oder liege ich völlig falsch?
Ja, leider total!

(Erklärung wird mehrteilig, also Achtung!)

Die Umkehrung des Wurzelziehens ist ja das Quadrieren. Und schon dabei gilt NICHT

(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}

.
Wieso sollte das also beim Wurzelziehen auf einmal gelten?

Setze beispielsweise für

c

Null ein, um es einfacher zu machen. Dann erhältst du links unter der Wurzel

\frac{5}{9}

. Rechts erhältst du 1. Und du wirst mir doch nicht verkaufen wollen, dass

\sqrt{\frac{5}{9}} = 1

ist, oder?

Übrigens: Dieses (Nicht-)Wissen wird in der Schule in Klasse 8 unterrichtet (jedenfalls in Niedersachsen).

Mfg Michael

anonymous

12:33 Uhr, 25.03.2016

Danke für deine schnelle Antwort.

Aber warum so salzig? Man darf doch wohl Fehler machen, oder?

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