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Höhenermittlung nach Blitzkugelverfahre

Universität / Fachhochschule

Tags: Blitzkugel, Höhe berechnen, Schutzwinkel

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18:06 Uhr, 04.07.2020

Gesucht wird eine Formel zur Berechnung der maximalen Gebäudehöhen für die verschiedenen Blitzschutzklassen mit Blitzkugelradien von

20, 30, 45

und

60

Metern um die in IEC

60728 - 11

festgesetzten

max

1,5 m

Wandabstand zur Fassade und mindestens

2 m

Abstand zur Dachkante genau einzuhalten.

Mit ungenauer grafischer Ermittlung komme ich auf

max

. Gebäudehöhen von

9,10 m

in BSK

1 (20 m)

13,00 m

in BSK

2 (30 m)

19,10 m

in BSK

3 (45 m)

und

23,05 m

in BSK

4 (60 m)

Die beeindruckend kompexe Formel für die Ableitung der Schutzwinkel aus den Blitzkugeln ist mit bekannt.

Falls nötig reiche ich Grafiken nach.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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07:15 Uhr, 05.07.2020

Ja, Grafiken wären sinnvoll und eine Beschreibung des Sachverhalts für Laien.

Enano

12:53 Uhr, 05.07.2020

Welchen Abstand der Fangeinrichtung zum zu schützenden Volumen hast du denn bei deiner grafischen Ermittlung angenommen.

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15:05 Uhr, 05.07.2020

Das nach Blitzschutzklassen und Höhen abgestufte geschützte Volumen LPZ

0 B

nach Blitzkugel- oder Schutzwinkelverfahren weicht von den statischen Werten der IEC

60728 - 11

gravierend ab. Bis zu welcher

max

. Gebäudehöhe das Dreieck der IEC

60728 - 11

zu den Blitzkugelradien noch übereinstimmt, hätte ich gerne mathematisch belegt.

Bereits die Gleichsetzung von Gebäuden MIT und OHNE Blitzschutzsystem ist physikalisch dubios, die IEC

60728 - 11

unterstellt mit den Fixwerten aber noch Sicherheit wo sie nach Blitzkugelverfahren an Gebäuden mit Blitzschutzsystem NICHT mehr gegeben ist.

Evtl. trägt ja die Formel für die Ableitung der "Krücke" Schutzwinkel aus dem Blitzkugelverfahren zur Erleuchtung der hier versammelten Schwarm-Kompetenz bei.

Roman-22

17:55 Uhr, 05.07.2020

Wenn ich dein zweites Bild richtig interpretiere, darf ich dir als Formel anbieten

h (r) := r - \frac{1}{20} \cdot \sqrt{144 \cdot r^{2} + 175 - 120 \cdot \sqrt{16 r^{2} - 25}}

Für

r = 20; 30; 45

und

60

ergeben sich damit die Werte

h = 9,023; 13,016; 19,010

und

25,008

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18:01 Uhr, 05.07.2020

Zuerst mein Dank an @Roman-22!

NACHTRAG: In Folie 4 war das Dreieck nach IEC

60728 - 11

zu groß dargestellt.

Roman-22

18:08 Uhr, 05.07.2020

In der neuen Zeichnung hast du rechts die

1,5

auf 2 geändert.
Hier die allgemeine Formel dazu:

Auch in deiner Zeichnung kommst du mit

r = 30

und

a = b = 2,

wenn man zu deinen

7,8

noch die 2 addiert, auf

9,8

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18:21 Uhr, 05.07.2020

Lieber Roman,

ich bin so baff, dass ich beim Lob zwischen exzellent und geil schwanke, obwohl der letztere Ausdruck bei meinem Jahrgang etwas anderes meint.

Danke nochmals.

Wenn die Formel in die gerade anstehende Revision der DIN VDE

0855 - 300

mit einfließt, werde ich mich nicht mit fremden Federn schmücken und auf dich verweisen. Gerne auch mit Klarnamen, wenn du den per PN übermittelst.

Roman-22

22:52 Uhr, 05.07.2020

Da ist nur echt elementare Mathematik im Spiel, eine namentliche Nennung daher nicht nötig.
Ein wenig beunruhigt mich aber der Gedanke, in einer Norm zum Blitzschutz eine Formel zu finden, die ohne Herleitung aus einem Forum stammt und nicht gegengeprüft wurde, nur weil sie ganz gut zur zeichnerischen Lösung passt. ;-)

Daher jetzt doch noch die Herleitung. Ich habe mittlerweile einen geringfügig anderen Weg gewählt und die Formel ist dadurch etwas handlicher geworden (siehe den gelb hinterlegten Ausdruck im zweiten Bild). Die etwas unlogischen Bezeichner

b

und a habe ich durch

Δ x

und

Δ y

ersetzt. Im deinem Sachzusammenhang werden sich dafür vermutlich andere Bezeichner aufdrängen, aber ich habe ja mit Blitzschutz nichts am Hut und das Ganze rein mathematisch/geometrisch betrachtet. Die Ergebnisse der neuen einfacheren Formel stimmen natürlich mit jener aus meinem letzten Beitrag überein.

Ich habe ein Koordinatensystem mit dem Ursprung im Kreismittelpunkt gewählt. Dadurch ist die Gleichung des Kreises einfach

x^{2} + y^{2} = r^{2}

.
Die beiden Punkte deines kleinen Dreiecks haben nun die Koordinaten

(x / y)

und

(x - Δ x / y + Δ y)

.
Siehe dazu das erste beigfügte Bild. Dass ich die y-Achse dabei unüblicherweise "nach unten" orientiert habe hat seinen Grund nur darin, dass ich deine Zeichnung missbrauchen und dennoch durchgehend positive Koordinaten haben wollte.

Setzte man nun die Koordinaten der beiden Punkte in die Kreisgleichung ein, erhält man zwei Gleichungen für

x

und

y

. Dieses Gleichungssystem kann man sicher auch händisch recht gut lösen, aber der Bequemlichkeit halber hab ich das meinen Rechenknecht machen lassen. Siehe das zweite beigefügte Bild.
Von den beiden Lösungen wird nun jene selektiert, die postivie Werte liefert und von dieser benötigen wir nur die y-Koordinate. Letztlich gilt dann

h = r - y

.

Ich weiß nicht, warum du in deiner Zeichnung die Sehnenlänge explizit hervorhebst. Diese errechnet sich ja durch

s = \sqrt{Δ x^{2} + Δ y^{2}}

. Hat man diese aber bereits einmal errechnet weil sie vl anderweitig relevant ist, kann man sie auch zusätzlich zu

Δ x

und

Δ y

einsetzen, wodurch sich die Formel noch einmal handlicher darstellt, nämlich als

h (r, Δ x, Δ y, s) = r + \frac{Δ y}{2} - \frac{Δ x}{2 s} \cdot \sqrt{4 r^{2} - s^{2}}

Ich weiß nicht, ob das für dich Sinn macht. Ich persönlich schätze es nicht, einen zusätzlichen Parameter einzuführen, der aus zwei anderen Parametern ohnedies bereits berechnet werden kann.

P . S . :

Sollte die gesuchte Höhe doch jene zum Punkt

B

sein und nicht jene zum Punkt

A,

dann wird in der Formel aus

+ \frac{Δ y}{2}

einfach

- \frac{Δ y}{2}

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00:04 Uhr, 06.07.2020

Deine Berechnung erscheint mir überaus schlüssig, auch LPL 4 "passt" wo ich statt der Gebäudehöhe die Antennenhöhe eingesetzt hatte. Es stimmt auch mit einer grafischen Überprüfung mit vergrößertem Maßstab überein.

Was meinen denn andere hier aktive Mathe-Koryphäen zur Formel und Ableitung? Ich werde zusätzlich noch jemand bitten sich das anzusehen, der in Mathe kompetenter ist als ich.

Roman-22

11:24 Uhr, 06.07.2020

Ich fürchte, dass sich viele hier einen Thread, der schon mal etwas länger gewachsen ist, nicht mehr ansehen - vor allem, wenn er bereits als beantwortet markiert ist.

Eine kleine Anmerkung noch. Du hast in einer deiner Zeichnungen nach der Höhe (du hattest sie "x" genannt) gefragt, wenn die Sehnenlänge

s

und der Winkel

φ

gegen die Senkrechte gegeben ist. Ich glaube zwar nicht, dass du die Höhe wirklich in Abhängigkeit von diesen beiden Größen benötigst, sondern von

Δ x

und

Δ y,

aber man kommt hier recht schnell auf eine einfache Formel, welche allerdings (nicht überraschend) Winkelfunktionen bzw. deren Umkehrung beinhaltet.

h_{2} (r, s, φ) = r \cdot (1 - sin (φ - a r c t a n \frac{s}{2 r}))

Ausgedrückt durch

Δ x

und

Δ y

heißt das

h_{2} (r, Δ x, Δ y) = r \cdot (1 - sin (a r c t a n \frac{Δ x}{Δ y} - a r c t a n \frac{\sqrt{Δ x^{2} + Δ y^{2}}}{2 \cdot r})),

womit du jetzt noch eine zweite Formel zur Verfügung hast. Solltest du die Höhe des anderen Punktes suchen (so wie in deinem letzten Bild rechts), dann sind die Argumente der Sinus-Funktion zu addieren anstatt zu subtrahieren.
Im beigefügten Screenshot siehst du, dass sich mit der Formel für

h_{2}

die gleichen Werte einstellen wie bei der ursprünglich genannten Formel. Interessant war, zu sehen, dass sich numerische Ungenauigkeiten bereits in der dritten Nachkommastelle einstellen.

Man kann jetzt auch leicht eine Näherungsformel angeben, welche nur vom Winkel

φ

abhängig ist:

h_{a p p r o x} (φ) = r \cdot (1 - sin φ)

φ

kann man natürlich wieder durch

a r c t a n \frac{Δ x}{Δ y}

ersetzen, womit du dann eine Näherungsformel in Abhängigkeit von

Δ x

und

Δ y

hast.

Geometrisch sucht man damit einen Kreispunkt, dessen Tangente den Winkel

φ

mit der Senkrechten einschließt. Die sich ergebende Höhe liegt zwischen jener von A und

B

(aus der Zeichnung, die ich in meiner vorigen Antwort beigefügt hatte). Man kann daher die Näherung deutlich verbessern, indem man noch

\frac{Δ y}{2}

addiert (im Screenshot die letzte Zeile, bei der jeweils noch 1 addiert wurde).

Also

h_{a p p r o x 2} (Δ x, Δ y) := r \cdot (1 - sin (a r c t a n \frac{Δ x}{Δ y})) + \frac{Δ y}{2}

Das lässt sich mittels

sin (a r c t a n (a)) = \frac{a}{\sqrt{1 + a^{2}}}

noch umschreiben zu

h_{a p p r o x 3} (Δ x, Δ y) := r \cdot (1 - \frac{Δ x}{\sqrt{Δ x^{2} + Δ y^{2}}}) + \frac{Δ y}{2}

Viel einfacher als die ursprüngliche, genaue Formel ist das allerdings auch nicht.
Anm.: Ich habe die ursprüngliche Formel für

h

im Bild noch ein kleinwenig vereinfacht.

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14:56 Uhr, 06.07.2020

Wenn es so ist, dass das Thema für andere interessanter ist wenn es nicht als "gelöst" gekennzeichnet ist, habe ich den Haken entfernt.

Die vielen Dreiecke in der Grafik hatten nur den Selbstzweck einen Lösungszugang zu finden. Der Begriff "man" ist unterschiedlich auslegbar. So fix wie DU wäre ICH auf keine deiner Formeln gekommen. Sowie "mein" Mathe-Experte die absegnet, werde ich sie in das angehängte Excel-Sheet zum Vergleich mit dem Schutzwinkelverfahren einbauen.

Seit

1971

wird normativ die Illusion verbreitet, dass Antennen bis zu

45 m \frac{.}{}

2 m = 43 m

Höhe gegen Blitzeinschläge auch ohne blitzstromtragfähige Erdung sicher wären. Die roten Bereiche zeigen unter Berücksichtigung der Physik

(=

Blitzkugel) eine andere Realität auf.

An den krassen Diskrepanzen zum Blitzkugelverfahren hat sich außer mir bislang niemand gestört.

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00:11 Uhr, 08.07.2020

Als Angehöriger der Rechenschieber-Generation habe ich nochmals mit den Dreiecken experimentiert.

Und siehe da, nach alter Väter Sitte mit Winkelfunktionen auf die Mitte des Dreiecks gerechnet, ergeben sich nach dem Komma jetzt für

2 m

Dach- und

1,5 m

Wandabstand sogar glatte Zahlen.

Dieser Thread hat noch eine Nebenwirkung. Wenn ich bei meinen selten gewordenen Referaten vor mir Leute sitzen habe, die bei für mich selbstverständicher Materie den gleichem Milchglasblick bekommen wie ich bei den vorgestellten Formeln, werde ich künftig tiefer durchatmen.

Für die Formel der Excel-Tabelle brauche ich vielleicht noch externen Beistand. Falls ich nicht selbst drauf komme oder mir nicht anderweitig schon geholfen wurde, melde ich mich wieder.

Danke nochmals.

Roman-22

02:26 Uhr, 08.07.2020

>

ergeben sich nach dem Komma jetzt für

2 m

Dach- und

1,5 m

Wandabstand sogar glatte Zahlen.
Ja, dann sieh dir einmal im Bild von meinem Beitrag

11 : 24

Uhr,

06.07.2020

die Ergebnisse der Näherungsfunktion

h_{a p p r o x}

an :-)

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09:35 Uhr, 08.07.2020

Das hatte ich mit meinem Milchglasblick übersehen, damit passt alles nahtlos zusammen.

Enano

15:49 Uhr, 08.07.2020

Hallo Dipol,

"...vor mir Leute sitzen habe, die bei für mich selbstverständicher Materie den gleichem Milchglasblick bekommen..."

Vielleicht liegt das an deinen suboptimalen Darstellungen. ;-)
Ich empfehle dir, auch diese von einem Mathe-Experten fachlich überarbeiten und von einem Laien auf Verständlichkeit prüfen zu lassen, bevor du sie einem größeren Publikum zeigst oder sogar verteilst.

Gruß
Enano

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