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Holomorphie einfach erkennen
Universität / Fachhochschule
Funktionentheorie
Komplexe Zahlen
Komplexe Analysis
Tags: Funktionentheorie, holomorph, Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen
 
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Liebe Community, zuweilen beschäftigen wir uns an der Uni mit komplexen Funktionen, und dabei taucht immer wieder auf, "Sei [...] eine holomorphe Funktion [...]". Wie man nachweisen kann, das eine Funktion holomorph ist, weiß ich. Allerdings wird in vielen Musterlösungen immer einfach gesagt "Da holomorph ist, [...]", ohne diesen Nachweis aufzuführen. Kann natürlich sein, dass die jetzt einfach implizieren, das ich diesen Nachweis auch alleine hinbekomme, der ja im Grunde nicht allzu schwer ist. Meine eigentliche Frage ist jetzt: Kann man holomorphe Funktionen auch erkennen? Ich tu mich bisweilen noch bisschen hart, mir eine komplexe Funktion vorzustellen... Aber im Reellen kann man ja auch Stetigkeit (zumindest in nicht zu hochkomplizierten Funktionen) recht einfach erkennen. Und wenn ich das richtig verstanden habe, ist Holomorphie das Pendant dazu. Danke! |
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Hallo, ich fürchte, dass da ein Missverständnis im sprachlichen Bereich ist. Wenn unter den Voraussetzungen aufgeführt ist, dass eine holomorphe Funktion sei, meint das, dass du die Holomorphie von als gegeben ansehen darfst. Nicht, weil man davon ausgeht, dass du den Nachweis auch allein hinbekommst, sondern einfach die Struktur mathematischer Erkenntnisse in "Wenn..., dann..."-Strukturen abgelegt wird. Nun sollte man das wie folgt umformulieren: "Wenn eine holomorphe Funktion ist (und evtl. noch andere Eigenschaften hat), dann ..." Dabei kämst du vermutlich nicht auf die Idee, die Holomorphie von noch beweisen zu wollen. Möchtest du solche Sätze aber konkret anwenden, musst du natürlich auch beweisen, dass deine Funktion alle Voraussetzungen des Satzes erfüllt. Mfg Michael |
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Ja, das ist nicht ganz mein Problem. Z.B. der Cauchysche Integralsatz setzt ja u.A. voraus, dass eine Funktion holomorph ist. Jetzt soll ich verschiedene Kurvenintegrale berechnen und ggf. mir den besagten Satz zunutze machen. Das heißt ich seh mir die Funktion im Integral an, und prüfe ob diese holomorph ist, damit ich den Satz anwenden kann. In der Musterlösung heißt es dann aber einfach "die Funktion ist holomorph", das geht aber aus der Aufgabenstellung nicht hervor, denn die sagt ja nur, dass ich den Satz evtl. aber nicht zwingend anwenden kann. Folglich muss ich das selbst prüfen. Und was ich mich eben frage, ob ich, ähnlich wie Stetigkeit im reellen, auch die Holomorphie ohne große Nachweise sehen kann. Denn wenn ich der Funktion ansehe, dass sie nicht holomorph ist, kann ich mir auch den Beweis sparen und direkt einen anderen Ansatz wählen. Das würde schon einen großen zeitlichen Vorteil in der Klausur bringen. |
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Hallo, ok, sorry, hatte dich zunächst anders verstanden. Nun, Holomorphie hat Analogien zur Stetigkeit/Differenzierbarkeit im Reellen, geht letztlich aber darüber weit hinaus. Immerhin gelten aber die üblichen Verdächtigen an Eigenschaften: * die vier Grundrechenarten liefern holomorphe Funktionen * Verkettungen holomorpher Funktionen sind wieder holomorph * einige Standarddinger (, trigonometrische und hyperbolische Funktionen) sind holomorph. Logarithmus nur auf der geschlitzten Ebene,... Wenn du die diese Dinge drauf hast, bist du vermutlich gut gerüstet. Mfg Michael |
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Hmm, das beantwortet meine Frage immer noch nicht so ganz. Mal ganz praktisch: Kann ich der Funktion jetzt ansehen das sie holomorph ist oder muss ich das nachrechnen? Wenn letzteres, könnte ich einen kurzen hinweis brauchen, wie ich Realteil un Imaginärteil der Funktion gesplittet kriege, ich hab da meine liebe Not mit der e-Funktion. Danke für deine Mühe! |
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Hallo, analysieren wir doch mal: Sicher ist die Identität () komplex diffbar, das müsste man natürlich einmalig im Hintergrund haben. Damit auch als Produkt zweier holomorpher Funktionen. Ebenso , war einer der üblichen Verdächtigen. Damit also auch die Summe als Summe zweier holomorpher Funktionen. So in etwa? Mfg Michael EDIT: Typo |
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Nicht in etwa, sondern genau so! Mir fällt ein Stein vom Herzen, Danke! |
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