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Homöomorphismus einer Abbildung hausdorff/kompakt
Universität / Fachhochschule
Algebraische Topologie
Differentialtopologie
Mengentheoretische Topologie
Tags: Algebraische Topologie, bijektive Abbildung, Differentialtopologie, Hausdorffsch, Homöomorphismus, kompakt, Mengentheoretische Topologie, stetig
 
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anonymous 17:07 Uhr, 28.09.2018  |
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Hallo ich studiere Physik und hab bei Topologie nicht ganz den Durchblick darum meine Frage: Es sei ein kompakter topologischer Raum, ein hausdorffscher Raum ) ein kompakter topologischer Raum und sei stetig und bijektiv. Zeige, dass dann ein Homöomorphismus ist. Ich weiß dass: Homöomorphismus heißt, dass stetig, bijektiv und auch stetig ist. Hausdorffscher Raum bedeutet, dass alle für alle ∈ mit ≠ disjunkte offene Umgebungen und existieren. Eine Menge ist kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Überlegungen: Ich weiß ja, dass die Abbildung nach Definition bijektiv und stetig ist, . ich muss nur zeigen, dass stetig ist. Das Bild eines kompakten Raumes ist wieder kompakt unter stetigen Funktionen . stetig, kompakt kompakt. Jedoch weiß ich nicht wie ich mit dem Beweis weiter machen bzw. anfangen soll. Danke schonmal für eure Hilfe! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, zunächst eine Richtigstellung deiner Vorstellungen: Ein topologischer Raum ist kompakt, wenn die Heine-Borelsche Überdeckungseigenschaft gilt, dass jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt. In einem topologischen Raum, der z.B. keine Metrik besitzt, gibt es gar nicht den Begriff der Beschränktheit. Woran du denkst, ist die Aussage, dass im (!) eine Menge genau dann kompakt ist, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. Für die zu beweisende Aussage ist ja schon mal sehr nützlich, dass du davon ausgehen kannst, dass das stetige Bild einer kompakten Menge kompakt ist. Gut gebrauchen könnten wir noch die folgenden beiden Aussagen: 1. Eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raumes ist kompakt. und 2. Eine kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raumes ist abgeschlossen. Guck doch mal bitte in deine Unterlagen, ob wir diese Aussagen zur Verfügung haben ... Gruß ermanus |
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Hallo, da der Fragesteller sich nicht mehr gemeldet hat, hier für die Interessierten kurz eine Antwort auf seine Frage: ist stetig, wenn das Urbild bzgl. jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist, d.h. wenn für jede abgeschlossene Menge von abgeschlossen ist. Nun haben wir wegen der besagten Sätze folgende Implikationen: abgeschlossen in kompaktem kompakt. kompakt und stetig kompakt. kompakte Teilmenge von Hausdorff-Raum abgeschlossen in . Gruß ermanus |
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anonymous 20:26 Uhr, 03.10.2018 |
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Perfekt vielen herzlichen Dank, mit so einer schnellen und guten Antwort hab ich nicht gerechnet. So kann ich alles gut nachvollziehen! |
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