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Homöomorphismus finden

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Homöomorphismus, Mengentheoretische Topologie

fesiborlin aktiv_icon

17:44 Uhr, 03.11.2017

Hallo, ich versuche seit zwei Tagen diese Aufgabe zu lösen:
Sei

S^{1} X S^{1} \subset ℂ^{2}

mit

x \in S^{1} X S^{1}

genau dann wenn

∣ z_{1} ∣^{2} = 1, ∣ z_{2} ∣^{2} = 1

mit der Unterraumtopologie des

{C^{□}}^{2}

.Seien 0<r<R reelle Zahlen und sei T^2 die Rotationsfläche, die ensteht, wenn man die Kreislinie

{(x, 0, z) \in ℝ^{3} ∣ (x - R)^{2} + z^{2} = r^{2}}

um die z-Achse rotiert. Zeigen sie, dass es einen Homöorphismus zwischen T^2 und S^1XS^1 gibt.
Meine idee: ein Homöorphismus ist eine stetige bijektive Abbildung mit stetiger Umkehrfunktion und stetig in der Topologie heißt, dass Urbilder offener Mengen offen sind. Ich weiß aber nicht, wie man so eine Abbildung finden kann.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Vielen Dank im voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

18:15 Uhr, 03.11.2017

Hallo,

ich würde wohl so beginnen: man beschreibe die Menge

S^{1} \times S^{1}

in der folgenden
Weise:

S^{1} \times S^{1} = {(e^{i φ}, e^{i ψ}) ∣ φ, ψ \in [0, 2 π)}

. Man ordne jedem
Punkt von

S^{1} \times S^{1}

das Winkelpaar

(φ, ψ)

zu.

Die Punkte von

T^{2}

lassen sich ebenfalls durch jeweils 2 Winkel (modulo

2 π

)
eindeutig beschreiben. Bringe also

T^{2}

in eine Parameterform, die mit den
beiden Parametern

φ

und

ψ

arbeitet ...

Gruß ermanus

fesiborlin aktiv_icon

18:38 Uhr, 03.11.2017

Hallo,
danke für deinen Tipp, ich werde das versuchen.

fesiborlin aktiv_icon

21:14 Uhr, 03.11.2017

Hallo, ich habe mit der Parameterdarstellung T^2 als

{(R + r c o s φ, r s i n φ) ∣ φ \in [0, 2 π)}

geschrieben und die Funktion von S^1 X S^1 nach T^2 definiert als

(e^{i φ}, e^{i ψ}) \mapsto (R + r (e^{i φ} + e^{i φ}) / 2, r (e^{i φ} - e^{- i φ}) / 2 i)

. Die Funktion ist stetig und surjektiv aber ist sie auch injektiv? und wie sieht dann die Umkehrabbildung aus?
Grüße
Fesiborlin

ermanus aktiv_icon

07:28 Uhr, 04.11.2017

Hallo,
du hast meine Idee im Kern wohl verstanden, aber du hast nur den Kreis in der

x, z

-Ebene mit einem Winkel auf seltsame Weise parametrisiert. Das schaffst du ja schon mit

φ

alleine. Du musst diesen Kreis ja noch um die

z

-Achse
rotieren lassen. Dazu benötigst du den zweiten Winkel

ψ

.
Ich bin bis heute nachmittag nicht online.

Gruß ermanus

fesiborlin aktiv_icon

17:12 Uhr, 04.11.2017

Hallo,
ich habe T^2 als

{R + r (e^{i φ} + e^{- i φ}) / 2 * (e^{i ψ} + e^{- i ψ}) / 2, r (e^{i φ} - e^{- i φ}) / 2 i * (e^{i ψ} + e^{- i ψ}) / 2 ∣ φ

und

ψ \in [0, 2 π)}

geschrieben. Wie geht es jetzt weiter? meine Idee wäre die Funktion so zu definieren:

(e^{i φ}, e^{i ψ}) \mapsto (R + r (e^{i φ} + e^{- i φ}) / 2 * (e^{i ψ} + e^{- i ψ}) / 2, r (e^{i φ} - e^{- i φ}) / 2 i * (e^{i ψ} + e^{- i ψ}) / 2)

ist das richtig?
Grüße
Fesiborlin

ermanus aktiv_icon

17:51 Uhr, 04.11.2017

Das kann ja nicht so sein; denn es ist doch

T^{2} \subset ℝ^{3} u n d

du hast in deinem Versuch nur 2 Komponenten.
Man geht von einem Kreis

K

in der

x, z

-Ebene aus. Dieser Kreis kann durch

φ

alleine parametrisiert werden, für die Rotation dieses Kreises um die

x

-Achse benötigt man dann den zweiten Winkel

ψ

.
Die Parametrisierung des Ausgangskreises

K

mit der Gleichung

K : (x - R)^{2} + z^{2} = r^{2}

bekommen wir so:
es ist

x - R = r \cos (φ)

und

z = r \sin (φ)

, wobei

φ

wie üblich den
Winkel zwischen Radius und

x

-Achse in der

x, z

-Ebene darstellt.
Der Kreis hat den Mittelpunkt

(R, 0)

.
Die Parametrisierung des Kreises sieht nun so aus:

(x, 0, z) = (R + r \cos (φ), 0, r \sin (φ))

.

Nun musst du dir überlegen, wie sich die Formel verändert, wenn man auch
noch eine Rotation mit Winkel

ψ

um die

z

-Achse einrechnet.

Du hast

\cos (φ)

richtig als

(e^{i φ} + e^{- i φ}) / 2

ausgedrückt
und entsprechend

\sin (φ)

, das ist OK,
aber für meinem Geschmack zu viel Schreibarbeit ;-)

fesiborlin aktiv_icon

12:20 Uhr, 05.11.2017

ich habe jetzt

T^{2} = {(R + r c o s φ) * c o s ψ, (R + r c o s φ) * s i n ψ, r s i n φ ∣ φ, ψ \in [0, 2 π)} .

Ist das richtig? Wie sieht aber mein Homöomorphismus aus?Soll ich f so definieren:

(e^{i φ}, e^{i ψ}) \mapsto ((R + r c o s φ) * c o s ψ, (R + r c o s φ) * s i n ψ, r s i n φ) ?

Grüße
Fesiborlin

ermanus aktiv_icon

13:21 Uhr, 05.11.2017

Ja, das sieht super aus!
Du kannst den Homöomorphismus so angeben, wie du es geschrieben hast.
Einsichtiger würde die Bijektivität vielleicht noch
durch Einschaltung eines Zwischenschrittes werden:

S^{1} \times S^{1} \to [0, 2 π) \times [0, 2 π) \to T^{2}

.

Was die Stetigkeiten anbetrifft, kannst du von der Stetigkeit

e^{i φ} \mapsto φ

ausgehen, etc.

Gruß ermanus

fesiborlin aktiv_icon

13:47 Uhr, 05.11.2017

Jetzt ist es klar, vielen Dank für deine Hilfe :-)

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