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Homogene Koordinatentransformation - Matrizen

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Tags: Homogene Koordinatentransformation, Matrix

 
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maxpower24

maxpower24 aktiv_icon

11:13 Uhr, 18.02.2009

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Hallo,

ich hoffe, jemand kann mir mal auf die Spruenge helfen...schaut euch auch meine Skizze an...das hilft vielleicht...;-)..besten DANK.

Also, ich hab zwei 3-dim Koordinatensysteme S1 und S2, die ich mit homogener Koordinatentransformation ineinander umwandeln will. Ich will homogene Transformation benutzen, weil ich so auch Translationen als Matrizenmultiplikationen darstellen kann (richtig?). Ich suche also die Transformationsmatrix S1->S2 und die Transformationsmatrix S2->S1.

S1 ist gegenueber S2 um den Vektor (-1 / 0 / -1) verschoben und um +90 Grad um die y-achse gedreht. Um also S1 mit S2 deckensgleich zu machen, muesste ich meiner meinung nach nur S1 um (+1/0/+1) verschieben, damit die Urspruenge uebereinanderliegen und dann noch um -90 drehen.

Ich habe die 4x4 Matrix fuer die Translation aufgestellt (Matrix A) und die 4x4 Matrix fuer die Rotation (Matrix B). Meine gesamt transformationsmatrix S2->S1 ergibt sich doch nun aus A*B, oder???....

Ich hab da langsam meine Zweifel, weil, wenn ich die resultierende Matrix mit dem Punkt (0/0/0) multipliziere, dann kommt folgerichtig der (1/0/1) raus, also der Koordinatenursprung von S2 dargestellt als Punkt von S1. Wenn ich aber den Punkt (1/0/0) mit derselben matrix multipliziere, muesste doch eigentlich (1/0/2) rauskommen, was aber irgendwie nicht so ist....:(....

Also, meine Frage:
(1)Ist es ueberhaupt erlaubt, die Matrizen fuer Translation und Rotation zu multiplizieren und die entstehende Matrix mit dem zu transformierenden Punkt zu transformieren???Oder muesste ich erst rechnen: Translationsmatrix * Punkt und dann das Ergebnis mit der Rotationsmatrix multiplizieren???

(2)muss man da irgendeine reihenfolge beachten...z.b. immer erst translation, dann rotation oder so??

VIELEN DANK fuer jede ernstgemeinte Hilfe.

coordinateTransformationExample_20090218

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maxpower24

maxpower24 aktiv_icon

10:49 Uhr, 20.02.2009

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Hmm....nicht eine einzige antwort...:(...woran liegts?? Hab ich es zu bloed beschrieben oder ist die frage zu simpel oder schwer???...

Bin bestimmt kein matheass, aber ich wuerde mich freuen, wenn mir jemand von euch weiterhelfen koennte...Danke.
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anonymous

anonymous

12:35 Uhr, 23.02.2009

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Hallo maxpower24
Ich habe mir deine Skizze und Beschreibung mal angeschaut.
Ehrlich gesagt, mit Matrizenrechnung kenne ich mich nicht so ganz aus.
Aber Koordinatentransformationen habe ich schon öfters einfach als Gleichungssystem dargestellt. Das ist ja auch irgendwie das gleiche - nicht wahr?

1) Zunächst wundert mich, dass du 4-dimensionale Matrizen nutzt. Wir bewegen uns doch im 3-dimensionalen Raum, also erwarte ich auch 3-dimensionale Gleichungssysteme bzw. Matrizen.

2) Um uns unmissverständlich verständigen zu können, sollten wir eindeutige Bezeichner verwenden.
Vereinbaren wir bitte:
> die Achsen des KoordinatenSystems S1 heißen: xyz
> die Achsen des KoordinatenSystems S2 heißen: uvw

3) Ich hätte das Gleichungssystem so formuliert:
x=1-w
y=v
z=1+u
und das invertierte Gleichungssystem:
u=z-1
v=y
w=1-x
Da du offensichtlich einen Hang zur Matrizenrechnung hast, kannst du diese Gleichungen vermutlich in Matrizen-Schreibweise übersetzen.

4) Die Translation der Koordinatensysteme führt zu konstanten Gliedern in obigem Gleichungssystem, nämlich die +-1. Soweit ich es ahne, lassen sich diese Konstanten in Matrizen-Rechnungen nicht durch reine Multiplikationen abhandeln.
Ich stelle mir da eher eine Vektoren-Rechnung vor:
Vektor = Matrix ⋅ Vektor + Konstanten-Vektor
(u) =[0;0;1]⋅(x)___{-1}
(v) =[0;1;0]⋅(y)__+{0}
(w) =[-1;0;0]⋅(z)__{+1}
Und ich wüsste nicht, wie dieser Konstanten-Vektor {-1;0;1} durch reine Matrizen-Multiplikationen behandelt werden könnte.
Aber wie gesagt, mit Matrizen-Rechnung bin ich nicht so ganz firm...

Ich hoffe, ich konnte trotzdem helfen.
maxpower24

maxpower24 aktiv_icon

17:37 Uhr, 26.02.2009

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Hallo Cube2,

zunaechst einmal vielen Dank fuer deine Hilfe....der Grund, warum ich 4x4 Matrizen benutze liegt daran, dass ich "Homogene Koordinatentransformation" verwende....folgender Link ist im Grunde alles was ich darueber weiss - bin also auch nicht grade ein Experte...;-)

de.wikipedia.org/wiki/Homogene_Koordinaten#Homogene_Matrizen

Wie du ja selbst im Punkt 4 sagst, kannst du dir nicht vorstellen, wie die Translation als Matrize dargestellt werden kann. Homogene Koordinatentransformation ist die Antwort darauf, wie es doch geht...so, wie ich es verstanden habe, kann man dann alles als Matrizenmultiplikationen behandeln...das ganze ist in der Robotik so ziemlich Standard, glaube ich...da laeuft alles ueber Matrizen...

Von der Theorie her, leuchtet mir das ja auch alles ein...Ich hab eine Matrix fuer die Rotation, eine fuer die Translation...dann multipliziere ich die einfach und haette meine Transformationsmatrix....nur irgendwie, wenn ich dann wirklich mal nen Punkt von S1 nach S2 transformieren will, kommt irgendwie murks raus....:(...naja, trotzdem danke.