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Homogene Markov Kette aperiodisch

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: homogen, Markov-Kette, Wahrscheinlichkeitsmaß

freezeling aktiv_icon

10:55 Uhr, 22.01.2025

Ich habe folgende Definition aus Hübner, Stochastik und meinem Uniskript zur Periodizität einer Klasse in einer Markovkette:

Denition

8.13

. Eine Klasse

K

heißt periodisch mit der Periode

d,

wenn es

d (>

2)

Teilmengen in

K

gibt, die der Reihe nach in

d

Schritten durchlaufen werden. Eine
homogene Markow-Kette heißt aperiodisch, wenn es keine periodische Klasse gibt.

Dabei sind zwei Zustände

i

und

j

Teil der gleichen Klasse, wenn sie von beiden aus erreicht werden können oder gleich sind.

Ich verstehe die Definition nicht ganz, vor allem weil nicht genau geklärt ist was mit "durchlaufen" gemeint ist.

MfG

freezeling

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

14:27 Uhr, 22.01.2025

Gemeint ist, dass es für eine Klasse

K

von Zuständen der Markov-Kette eine disjunkte Zerlegung

K = K_{1} \cup \dots \cup K_{d}

in der Weise gibt, dass man von einem Zustand aus

K_{r}

im nächsten Schritt garantiert in einen Zustand aus

K_{r + 1}

kommt, wobei die Indizes modulo

d

zu verstehen sind (d.h. aus

K_{d}

gelangt man dann wieder in

K_{1}

d > 2

verstehe ich nicht, es sollte

d \geq 2

lauten.

Mir eher geläufig ist die Definition der Periode

d

eines einzelnen Zustandes

i

der Markovkette: Und zwar ist das der

g g T

all jener Schrittweiten

n

, bei denen eine positive Rückkehrwahrscheinlichkeit in Zustand

i

besteht, d.h.

p_{i i}^{(n)} > 0

. Zustände

i, j

, die miteinander verbunden sind (d.h. in endlich vielen Schritten wechselseitig erreichbar), haben automatisch dieselbe Periode, können aber verschiedenen

K_{r}

der obígen Klassenzerlegung angehören.

Beispiel: Ü-Matrix

P = (\begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \end{array})

der Markov-Kette.

Sieht alles nahezu deterministisch aus, fast immer geht es von Zustand

i

nur zu

i + 1

- mit Ausnahme von Zustand 6: Dort geht es zu jeweils 50% in Zustand 1 sowie 4.

Diese Kette ist periodisch mit Periode 3, eine mögliche Zerlegung ist

K_{1} = {1, 4}

K_{2} = {2, 5}

und

K_{3} = {3, 6}

.

Beispielsweise ist hier

p_{11}^{(n)} = 0

zwar für alle

1 \leq n \leq 5

und ebenfalls alle nicht durch drei teilbaren

n

, aber es ist

p_{11}^{(6)} > 0

und auch

p_{11}^{(9)} > 0

, also ist

d = ggT (6, 9) = 3

.

Anmerkung: Wenn man das ganze zum ersten Mal hört ist man versucht zu meinen "die Periode des Zustandes

i

ist die kleinste positive Zahl

n

mit

p_{i i}^{(n)} > 0

". Oftmals ist das auch so - aber wie das Beispiel oben zeigt, stimmt das nicht immer.

freezeling aktiv_icon

10:58 Uhr, 23.01.2025

Ok vielen Dank das hat mir weitergeholfen. :-) Ich habe auch die zweite Definition verstanden. Wie kann ich aber nun aus der zweiten Definition ableiten ob eine HMK aperiodisch ist? Ist dies der Fall, wenn für alle Zustände

i

der ggT gleich 1 ist?

MfG

freezeling

HAL9000

11:07 Uhr, 23.01.2025

Ja. Sollten alle Zustände miteinander verbunden sein, reicht dieser Nachweis für

d = 1

aber bereits für nur einen Zustand.

Es gibt natürlich auch ganz einfache hinreichende Kriterien für Aperiodizität, z.B.:

Sollten alle Zustände miteinander verbunden sein und

p_{i i} > 0

für mindestens ein

i

gelten, dann ist die Kette aperiodisch.

freezeling aktiv_icon

11:22 Uhr, 23.01.2025

Ok vielen Dank. :-)

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