Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Homogenität und Additivität prüfen

Homogenität und Additivität prüfen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen

Magicmaster aktiv_icon

12:49 Uhr, 24.01.2010

Hallo

könnt ihr mir sagen warum diese Abbildung

f_{1} (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ x_{1} - x_{2} \\ x_{1} + x_{2} \end{matrix})

linear ist und diese

f_{2} (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \cdot x_{2} \\ 0 \\ x_{1} \end{matrix})

nicht.

Ich habe folgendermaßen gerechnet. Es geht um Additivität und Homogenität.

f_{1} (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})

Additivität:

\vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ x_{1} - x_{2} \\ x_{1} + x_{2} \end{matrix})

und

\vec{y} = (\begin{matrix} 0 \\ y_{1} - y_{2} \\ y_{1} + y_{2} \end{matrix})

f (\vec{x} + \vec{y}) = f (\vec{x}) + f (\vec{y})

(\begin{matrix} 0 + 0 \\ (x_{1} - x_{2}) + (y_{1} - y_{2}) \\ (x_{1} + x_{2}) + (y_{1} + y_{2}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 + 0 \\ (x_{1} - x_{2}) + (y_{1} - y_{2}) \\ (x_{1} + x_{2}) + (y_{1} + y_{2}) \end{matrix})

Homogenität:

λ \cdot f (\vec{x}) = f (λ \cdot \vec{x})

(\begin{matrix} 0 \\ λ x_{1} - λ x_{2} \\ λ x_{1} + λ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ λ x_{1} - λ x_{2} \\ λ x_{1} + λ x_{2} \end{matrix})

f_{2} (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})

Additivität:

\vec{x} = (\begin{matrix} x_{1} \cdot x_{2} \\ 0 \\ x_{1} \end{matrix})

und

\vec{y} = (\begin{matrix} y_{1} \cdot y_{2} \\ 0 \\ y_{1} \end{matrix})

f (\vec{x} + \vec{y}) = f (\vec{x}) + f (\vec{y})

(\begin{matrix} (x_{1} \cdot x_{2}) + (y_{1} \cdot y_{2}) \\ 0 \\ x_{1} + y_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} (x_{1} \cdot x_{2}) + (y_{1} \cdot y_{2}) \\ 0 \\ x_{1} + y_{1} \end{matrix})

Homogenität:

λ \cdot f (\vec{x}) = f (λ \cdot \vec{x})

(\begin{matrix} λ x_{1} x_{2} \\ 0 \\ λ x_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} λ x_{1} x_{2} \\ 0 \\ λ x_{1} \end{matrix})

Ich sehe meinen Fehler nicht. Für mich sind beide linear. Ich weiß nur von der Lösung (nur Ergebniss toll) das

f_{1}

die lineare Abbildung ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

el holgazán aktiv_icon

13:55 Uhr, 25.01.2010

Du musst sorgfältig einsetzen.

\vec{x} = (\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array})

λ \vec{x} = λ (\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}) = (\begin{array}{l} λ x_{1} \\ λ x_{2} \end{array})

Also:

f_{2} (λ \vec{x}) = f_{2} (\begin{array}{l} λ x_{1} \\ λ x_{2} \end{array}) = (\begin{array}{l} (λ x_{1}) \cdot (λ x_{2}) \\ 0 \\ λ x_{1} \end{array})

Magicmaster aktiv_icon

14:07 Uhr, 25.01.2010

Ich habs jetzt raus, aber der Fehler lag an der Additivität nicht an der Homogenität. Aber ich hab durch dich nocheinmal genauer drüber nachgedacht. Dankeschön!

Enrico aktiv_icon

14:18 Uhr, 25.01.2010

Hallo,

Dein Fehler liegt darin, dass Du für

\vec{x}

und

\vec{y}

falsche Werte setzt.

Es ist:

\vec{x} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})

und

\vec{y} = (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \end{matrix})

.

Additivität von

f_{1} :

f (x + y) = f ((\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \end{matrix})) =

= f (\begin{matrix} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) \\ (x_{1} + y_{1}) + (x_{2} + y_{2}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ (x_{1} - x_{2}) + (y_{1} - y_{2}) \\ (x_{1} + x_{2}) + (y_{1} + y_{2}) \end{matrix}) = f (x) + f (y)

Homogenität von

f_{1} :

λ \cdot f (x) = λ \cdot f (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = λ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ x_{1} - x_{2} \\ x_{1} + x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ λ \cdot (x_{1} - x_{2}) \\ λ \cdot (x_{1} + x_{2}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ λ \cdot x_{1} - λ \cdot x_{2} \\ λ \cdot x_{1} + λ \cdot x_{2} \end{matrix}) = f (\begin{matrix} λ \cdot x_{1} \\ λ \cdot x_{2} \end{matrix}) = f (λ \cdot x)

\Rightarrow f_{1}

linear.

Nun teste ob das für

f_{2}

auch gilt.

LG Enrico

el holgazán aktiv_icon

14:58 Uhr, 25.01.2010

Aber auch die Homogenität stimmt nicht ^^.

714681

714129

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?