Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Hornerschema

Hornerschema

Schüler Berufliches Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Hornerschema

StarQ7 aktiv_icon

21:09 Uhr, 07.05.2010

Hallo liebes Mathe Forum!

Nun lautet die Frage

Berechnen Sie mit Hlfe des Hornerschemas dem Funktionswert der Funktion

f (x) = 4 \cdot x^{3} + 7 \cdot x^{2} + 7 \cdot x + 3

an der Stelle

x = - \frac{3}{4}

Das Problem ist, dass ich noch nie vom Hornerschema gehört habe!
Ein Blick in Wikipedia sorgte für Verwirrung.
Kann mir jemand Hilfe leisten?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Alx123 aktiv_icon

21:45 Uhr, 07.05.2010

Hallo,
du schreibst erst alle Koeffizienten von links nach rechts ( auch wenn sie Null sind ), dabei wird die Ordnung der Potenz berücksichtigt, hier also:

4 7 7 3

um es anschaulicher darzustellen fange ich mit dem ersten trivialen Schritt an. Zum ersten Koeffizient ( hier

4

) wird die Null addiert, die schreibt man direkt unter die

4

, das Ergebniss kommt unter die

0

\begin{array}{cccc} 4 & 7 & 7 & 3 \\ 0 \\ 4 \end{array}

jetzt wird das Ergebniss mit dem

x

-Wert multipliziert, das Ergebniss (

- 3

) kommt unter die

7

, es wird also zu

7

dazuaddiert:

\begin{array}{cccc} 4 & 7 & 7 & 3 \\ 0 & - 3 \\ 4 & 4 \end{array}

das wird bis zum letzten Koefffizient wiederholt und das letzte Ergebniss ist der Funktionswert an der Stelle

x = - \frac{3}{4}

, die fertige Tabelle lautet:

\begin{array}{cccl} 4 & 7 & 7 & 3 \\ 0 & - 3 & - 3 & - 3 \\ 4 & 4 & 4 & 0 = f (x) \end{array}

dort hat also die Funktion eine Nullstelle.

StarQ7 aktiv_icon

13:51 Uhr, 08.05.2010

Soweit so klar aber ich kann ja nun mit der letzten Reihe eine Funktion zweiten grades erstellen

\to 4 \cdot x^{2} + 4 \cdot x + 4

Was bringt der mir?

Aufgabe

c .)

Bestimmen Sie unter Verwendung von

b .)

die Nullstellen von

f (x)

b .)

war die vorherige Aufgabe

\land

Shipwater aktiv_icon

14:54 Uhr, 08.05.2010

Das geht jetzt mit

z . B

. mit der Mitternachtsformel.

Alx123 aktiv_icon

15:00 Uhr, 08.05.2010

Da es sich um eine Nullstelle handelt wurde durch das Horner-Schema die Restfunktion ermittelt:

f (x) = 4 \cdot x^{2} + 4 \cdot x + 4

diese Funktion multipliziert mit dem Linearfaktor

(x + \frac{3}{4})

ergibt wieder die Ausgangsfunktion, es gilt also:

4 \cdot x^{3} + 7 \cdot x^{2} + 7 \cdot x + 3 = (x + \frac{3}{4}) \cdot (4 \cdot x^{2} + 4 \cdot x + 4)

sobalt du also eine Nullstelle eines Polynoms kennst, kannst du mit dem Horner-Schema die Ausgangsfunktion als ein Produkt der Restfunktion und des Linearfaktors schreiben. Du kannst dann natürlich das Horner-Schema erneut anwenden, solange bis die Ausgangsfunktion komplett linear faktorisiert ist. Bei der obigen Restfunktion kannst du natürlich auch die pq-Formel anwenden.

StarQ7 aktiv_icon

15:10 Uhr, 08.05.2010

Wenn ich mit meinem CAS

f (x) = 0

(die Restfunktion) mache kommt kein Ergebnis.
Heißt es es gibt keinen andere Nullstelle?

Alx123 aktiv_icon

15:12 Uhr, 08.05.2010

Die Nullstellen der Restfunktion sind komplex.

StarQ7 aktiv_icon

19:37 Uhr, 08.05.2010

komplex?

: S

versteh ich nicht.... sry habe schon meine Mathe abi Prüfung durch und höchstwarscheinlich auch zweistellig aber das Wort komplex hab ich im Unterricht etc. nie gebraucht bzw. benutzt.

Alx123 aktiv_icon

19:48 Uhr, 08.05.2010

Die Gleichung hat im reellen keine Lösung, d.h. der Funktionsgraph schneidet oder berüht nie die x-Achse. Doch wenn man den Definitionsbereich der Funktion auf die komplexe Zahlenebene erweitert, dann hat die Funktion zwei Nullstellen. Kennst du keine komplexen Zahlen?

StarQ7 aktiv_icon

19:55 Uhr, 08.05.2010

nooo.. gehört warscheinlich nicht zum Lehrplan. Ich habe dieses Jahr

J 2

13NP in Mathe, dass entspricht einer

1 -

Ich fühl mich langsam schlecht. Wir benutzen einen CAS in der Schule. Der Lehrer hat uns Angeboten 5 Aufgaben bis Dienstag zu rechen dann bekommen wir eine bessere Note (zählt wie eine halbe Arbeit) und ich muss sagen ich bin bei

1 c)

und weiß immernoch nicht wie ich mit Hornerschemas alle Nullstellen rausfinden kann

: S

(für die Aufgaben darf ich ihn nicht benutzen den CAS, das heißt ich darf mir alles beibringen, Hornerschema hatten wir auch noch nie zuvor...)

1 b)

habe ich so gemacht

4 ... 7 . .

7 . .

. 3

0 - 3 - 3 - 3 ... ... ... ... ... x = - \frac{3}{4}

4 ... 4 ... 4 ... 0

- \to

Die Restfunktion

x = 4 \cdot x^{2} + 4 \cdot x + 4

Dann habe ich geschrieben:
"Das letzte Ergebnis 0 ist der Funktionswert an der Stelle

x = - \frac{3}{4}

. Die Funktion

f (x)

hat dort eine Nullstelle.

Dann steht bei

C)

eben Bestimmen Sie unter Verwendung von

b)

die Nullstelle von

f (x)

ich hab das so gemacht stimmt aber bestimmt nicht...

x = 4 \cdot x^{2} + 4 \cdot x + 4

4 ... 4 ... 4

0 - 4 - 4 ... ... ... . . x

ist dann

- 1

4 ... 0 ... 0

- \to

Hier wurde mit dem Hornerschema rückwärts gerechnet.
Es gibt keine Nullstellen mehr, da

- 1 \cdot 0

ungleich

- 4

Stimmt nicht so odeR?

Alx123 aktiv_icon

20:27 Uhr, 08.05.2010

Rückwärts, darüber habe ich nie nachgedacht. Sieht aber auf dem ersten Blick nicht falsch aus.

StarQ7 aktiv_icon

21:18 Uhr, 08.05.2010

Ich muss es ja rückwerts tun, da ich die x-werte nicht weiß und anders kann ich es mit dem Schema nicht machen odeR?
Ist die Begründung in Ordnung oder passt das nicht so ganz?

Bitte um Kontrolle!!

Gruß StarQ7

Alx123 aktiv_icon

21:42 Uhr, 08.05.2010

Also für eine allgemeine quadratische Funktion