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Hyperbel Gleichung aufstellen

Schüler

Tags: Berührpunkt, Hyperbel, Tangent

Succubus

17:20 Uhr, 03.09.2014

Hallo,
habe ein Problem mit dem Aufstellen einer Hyperbelgleichung.
Die Angabe lautet: Von einer Hyperbel in der 1. Hauptlage sind die Tangente

t : 3 x + 4 y + 16 = 0

und ihr Berührpunkt

T (- 12 | y)

gegeben. Ermittle die Gleichung der Hyperbel.

Ich habe

- 12

in die Tangentengleichung eingesetzt und

y = 5

erhalten. Somit ist

T (- 12 | 5)

.
Hier fängt mein Problem an. Ich weiß, dass die Grundform der Hyperbel

b^{2} \cdot x^{2} - a^{2} \cdot y^{2} = a^{2} \cdot b^{2}

lautet. Ich habe versucht,

T

in die Hyperbel für

x

und

y

einzusetzen und in die Tangentenspaltform

(b^{2} \cdot p 1 \cdot x - a^{2} \cdot p 2 \cdot y = a^{2} \cdot b^{2},

wobei

p 1

und

p 2

der Berührpunkt sind)

T

für

p 1

und

p 2

einzusetzen. Allerdings bekomme ich dann für die Tangentenspaltform:

b^{2} \cdot (- 12) \cdot x - a^{2} \cdot 5 \cdot y = a^{2} \cdot b^{2}

. Hier habe ich 4 Variablen, deutlich zu viele. Mein nächster Schritt war, einen Punkt auf der Tangente zu suchen, um

x

und

y

wegzubekommen. Habe

(0 | - 4)

genommen, da dieser Punkt die Tangentengleichung erfüllt.

Meine zwei Gleichungen lauteten schließlich:

b^{2} \cdot {(- 12)}^{2} - a^{2} \cdot 5^{2} = a^{2} \cdot b^{2}

b^{2} \cdot (- 12) \cdot 0 - a^{2} \cdot 5 \cdot (- 4) = a^{2} \cdot b^{2}

gekürzt lauten sie:

- 144 b^{2} - 25 a^{2} = a^{2} \cdot b^{2}

20 a^{2} = a^{2} \cdot b^{2}

Bei dem Gleichungssystem bekam ich allerdings keine Lösung...
Hilfe und Lösungsvorschläge wären sehr hilfreich!
Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Hyperbeln

Respon

17:38 Uhr, 03.09.2014

Da gäbe es viele verschiedene Wege.
Ich habe es so gemacht.

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

T (- 12 | 5) \in

hyp

\Rightarrow \frac{144}{a^{2}} - \frac{25}{b^{2}} = 1

Das ist die erste Gleichung.

Respon

17:44 Uhr, 03.09.2014

Die zweite Gleichung erhalten wir über den Berühpunkt und den gegebenen Anstieg der Tangente

(k_{t} = - \frac{3}{4})

Für den Anstieg der Tangente in einem Hyperbelpunkt verwenden wir entweder die fertige Formel

(k_{t} = \frac{b^{2} \cdot x_{1}}{a^{2} \cdot y_{1}},

wobei

x_{1}

und

y_{1}

die Koordinaten des Berührpunktes sind )
ODER
wir bilden die erste Ableitung ( implizites Differenzieren ).

\Rightarrow

zweite Gleichung

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17:44 Uhr, 03.09.2014

Um noch zu zeigen wo der Fehler liegt:

Kurz vor Schluss rechnest Du

b^{2} \cdot {(- 12)}^{2}

und erhältst

- 144 b^{2}

Succubus

18:01 Uhr, 03.09.2014

Okay, wie man zu den beiden Gleichungen kommt, verstehe ich nun. Vielen Dank. Aber wenn ich versuche das Gleichungssystem zu lösen, schaffe ich es nicht, eine der beiden Variablen zu eliminieren. Könnte man mir dabei helfen?

Respon

18:03 Uhr, 03.09.2014

Wie schauen jetzt deine beiden Gleichungen aus ?

Succubus

18:05 Uhr, 03.09.2014