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Hyperbel beweisen durch Brennpunkte

Schüler Gymnasium,

Tags: Brennpunk, Hyperbel, zeigen

Schueler321 aktiv_icon

23:06 Uhr, 28.05.2018

Guten Abend zusammen :-)

Ich habe hier eine Aufgabe vor mir, bei der ich nicht weiß, was genau ich zeigen muss bzw. was ausreicht.

Zeige, dass die Kurve mit der Gleichung

x y = 1

eine Hyperbel mit den Brennpunkten

F_{1} (\sqrt{2}, \sqrt{2})

und

F_{2} (- \sqrt{2}, - \sqrt{2})

ist und gib ihre große Halbachsenlänge an.

Ich weiß, dass die Hyperbel

y = \frac{1}{x}

ist und als "Achsen"

y = \pm x

hat, wobei die Koordinatenachsen

x = 0

und

y = 0

die Asymptoten sind.

Reicht es zu zeigen, dass die lineare Exzentrizität gilt oder wie fange ich das am besten an?

Danke für eure Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Hyperbeln

Respon

10:08 Uhr, 29.05.2018

z . B

. so
Schneide

y = x

mit

x \cdot y = 1

und du bekommst die Hauptscheitel

A_{1} = (1 | 1)

und

A_{2} = (- 1 | - 1)

\Rightarrow a = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}

und da es sich um eine gleichseitige Hyperbel handelt

b = \sqrt{2}

e^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow e = 2

e

ist die Diagonale des Quadrates aus den Koordinaten von

F_{1} \Rightarrow F_{1} (\sqrt{2} | \sqrt{2})

(F_{2}

analog )

Schueler321 aktiv_icon

17:55 Uhr, 29.05.2018

Hallo Respon,
vielen Dank für Deine Hilfe.

Mir leuchtet alles ein, außer dein letzter Schritt:

"e ist die Diagonale des Quadrates aus den Koordinaten von F1". Ich verstehe jetzt nicht, wie du auf den Brennpunkt kommst.

Kannst du mir das bitte einmal erklären?

Vielen Dank

Respon

20:51 Uhr, 29.05.2018

siehe Grafik

Schueler321 aktiv_icon

21:10 Uhr, 29.05.2018

Ah super, jetzt weiß ich, welches Quadrat du meintest.
Vielen Dank. Eigentlich ist die Aufgabe damit ja auch ganz einfach:-)

Eine kurze Rückfrage hätte ich noch dazu:
Kann ich auch die Formel

| A_{1} F_{1} | - | A_{1} F_{2} | = 2 a

bzw. das selbe für den

A_{2}

Scheitel rechnerisch "beweisen"? Ich komme dann nämlich bei beiden Optionen auf

2,81 = 2,81

und somit wäre doch auch gezeigt, dass es eine Hyperbel ist, oder?
Denn es gilt ja " Für jeden Punkt

P

[

bei mir dann

A_{1,2}]

einer Hyperbel mit den beiden Brennpunkten

F_{1,2}

sowie der großen Halbachsenlänge a gilt:

| P F_{1} | - | P F_{2} | = 2 a

.

Nur aus reiner Neugier und eigener Inspiration: gilt das als Beweis?

Viele Grüße

Respon

21:26 Uhr, 29.05.2018

Überprüfe mit Rechnung !
Bedenke aber, dass du anfangs nicht die Koordinaten von

A_{1}

hast und die Koordinaten von

F_{1}

erst bewiesen werden müssen.

Schueler321 aktiv_icon

21:43 Uhr, 29.05.2018

Ok. Vielen Dank für Deine Hilfe.

Hab es durch Deine gute Erklärung prima verstanden.

Aurel

02:42 Uhr, 30.05.2018

"da es sich um eine gleichseitige Hyperbel handelt"

vielleicht etwas vorraussetzungsstark, also ich meine, vielleicht sollte man auch noch zeigen dass

x \cdot y = 1

tatsächlich gleichseitig ist

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