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Hyperbelgleichung aus zwei Punkten

Schüler

Tags: Hyperbel, Hyperbelgleichung, Punkt

coeur de la mer aktiv_icon

21:56 Uhr, 12.08.2014

Hallo,

ich hänge gerade bei einer Matheaufgabe und ich finde den Fehler nicht. Wäre nett, wenn ihr mir schnell sagen könntet, was ich da falsch hab:

Eine Hyperbel (1.Hauptlage) geht durch Punkt

P (7! 7)

und

Q (15! - 18)

\to

entschuldigt mich, aber ich weiß leider nicht, wie man diese "Trennlinie" zwischen den Koordinaten mit PC zeichnet.

Gesucht ist die Hyperbelgleichung.

Ich hab Folgendes gemacht:

1)

49b² - 49a² = a²b²

2)

225b² - 324a² = a²b²

Jetzt die zweite Gleichung von der oberen abziehen. Daraus folgt:

- 176

b²

+

274a²

= 0

(274a²)

/ 176 =

b²

Das kann dann aber nicht stimmen...

MFG und Danke im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Hyperbeln

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ma-Ma aktiv_icon

22:25 Uhr, 12.08.2014

- 49 - (- 324) = . .

. ?

- - - - - - - - - - -

Trennzeichen | ist das Zeichen neben "<"

coeur de la mer aktiv_icon

22:32 Uhr, 12.08.2014

. .

275

Aber dann habe ich ja immernoch einen etwas komplizierteren Bruch

: (

Wenn ich das in die Gleichung einsetze, dann kommt leider auch nicht das Richtige raus

Ma-Ma aktiv_icon

22:36 Uhr, 12.08.2014

Zeige, WAS Du gemacht hast. Ohne Deine Vorgehensweise zu kennen, kann ich Dir nicht sagen, WO Dein Fehler liegt

. .

coeur de la mer aktiv_icon

22:50 Uhr, 12.08.2014

Ich hab das, was wir bis jetzt für b² rausbekommen haben, in die erste Gleichung eingesetzt:

49 \cdot

a²

\cdot (\frac{275}{176}) -

49a² = a²

\cdot

a²

\cdot \frac{275}{176}

Dann durch a²

49 \cdot \frac{275}{176} - 49 =

a²

\cdot \frac{275}{176}

mal

\frac{176}{275}

49 - 49 \cdot \frac{176}{275} =

a²

a²

= 49 - 31,36 = 17,64

\Rightarrow

b²

= 27,5625

Gleichung: 27,5625x² - 17,64y²

= 486,2025

Richtige Lösung:
25x²

- 16

y²

= 441

Ma-Ma aktiv_icon

22:58 Uhr, 12.08.2014

Ich habe mit Deinen Angaben in der Aufgabenstellung auch gerechnet und kann bestätigen:

a^{2} = 17,64

Somit

a = \pm 4,2

Du hast richtig gerechnet.
Ich tippe auf einen Druckfehler in der Aufgabenstellung.
LG Ma-Ma

coeur de la mer aktiv_icon

23:02 Uhr, 12.08.2014

Ok, vielen Dank trotzdem.

LG

rundblick aktiv_icon

23:17 Uhr, 12.08.2014

"
Ich tippe auf einen Druckfehler in der Aufgabenstellung.
"

wau

Ma-Ma

\to

mach doch mal die Probe :

dh überprüfe, ob

P (7 | 7)

und

Q (15 | - 18)

möglicherweise doch auf der versprochenen

\to

richtigen Lösung herumliegen ?

\to

25x²

- 16

y²

= 441

was meinst?

aber egal, das "Herzchen" hat sich ja leider schon (ins Meer?) absentiert..

Ma-Ma aktiv_icon

23:54 Uhr, 12.08.2014

@rundblick: Danke für den Hinweis, ich guck mir das morgen nochmal an.
LG Ma-Ma

coeur de la mer aktiv_icon

10:29 Uhr, 13.08.2014

@rundblick: Um ehrlich zu sein, hab ich daran auch schon gedacht. Ich war aber recht müde, und bin dann eingeschlafen. Eine Aufgabe an einem Abend

(!)

zu knacken ist ja nicht obligatorisch. Und nein, im Meer war ich nicht, auch nicht in meinen Träumen.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Ich habe die Punkte in die Lösung eingesetzt, bei beiden Gleichungen ergab sich eine wahre Aussage. Wo liegt denn nun der Fehler?

Ich habe gestern auch ähnliche Aufgaben gelöst, wobei die Koordinaten der Punkte alle positiv waren. Und da hats geklappt. Ich habe auch die Rechenvorgänge miteinander verglichen, konnte aber bei der Problemaufgabe nichts Auffälliges finden. Deshalb auch die Annahme, dass bereits mit b² etwas nicht stimmt.

Ma-Ma aktiv_icon

14:10 Uhr, 13.08.2014

Ja, ich war gestern auch schon müde, habe heute gesehen, das eigentlich nur noch 1 Schritt gefehlt hat.

Deine berechnete Gleichung kannst Du mit einem Faktor multiplizieren/dividieren und Du kommst auf die Musterlösung.

Tipp: Dividiere mal Dein berechnetes

b^{2}

durch

25 ...

.
Mit diesem Wert weitere Terme bearbeiten

...

coeur de la mer aktiv_icon

16:08 Uhr, 14.08.2014

Danke Ma-Ma, ich habe das nun die richtige Lösung rausbekommen.

Eine kurze Frage hätte ich noch: Woher soll man denn wissen, dass man die Gleichung mit

1,1025

dividieren muss, damit man ganze Zahlen bekommt? Um die Zahl

1,1025

rauszubekommen, benötigt man ja

z . B

. die Zahl

25

. Aber

25

weiß ich ja nur, weil ich die Lösung schon kenne (Lösungsheft).

LG & danke für die Hilfe

oculus aktiv_icon

16:52 Uhr, 14.08.2014

Hallo,

ich würde einfach setzen

A := a^{2}

und

B := b^{2}

(die Quadrate stören nur

!)

dann das Gleichungssystem

49 \cdot B - 49 \cdot A = A \cdot B

225 \cdot B - 324 \cdot A = A \cdot B

lösen mit

A = \frac{441}{25}

und

B = \frac{441}{16}

und daraus die pos. Quadratwurzeln ziehen

\Rightarrow a = \frac{21}{5}

und

b = \frac{21}{4}

.

Gruß

oculus

Ma-Ma aktiv_icon

18:23 Uhr, 14.08.2014

Wenn eine GANZZAHLIGE Lösung gefragt war, so kannst Du folgendermaßen vorgegen.

b = \frac{21}{4} ...

b^{2} = \frac{441}{16}

a = \frac{21}{5} . .

a^{2} = . .

. ?

Setze jetzt

a^{2}

und

b^{2}

in die Gleichung ein.

b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} \cdot b^{2}

Bilde links den gemeinsamen HN. (Nur das Proukt hinschreiben, brauchst nicht ausmultiplizieren.)
Jetzt geschickt dividieren

. .

coeur de la mer aktiv_icon

18:44 Uhr, 14.08.2014

a²

= \frac{441}{25}

\frac{441}{16} \cdot

x²

+ \frac{441}{25} \cdot

y²

= \frac{441}{25} \cdot \frac{441}{16}

durch

441 . .

\frac{1}{16} \cdot

x²

+ \frac{1}{25} \cdot

y²

= \frac{441}{25 \cdot 16}

mit

16

und

25

multiplizieren, kürzen, bleibt also nur noch

25 \cdot

x²

+ 16 \cdot

y²

= 441

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Die Lösung muss

(!)

eig. nicht ganzzahlig sein, aber für Übungen in Schulbüchern ist es typisch, dass am Ende ganzzahlige Zahlen rauskommen.

Die Idee, A und

B

antstatt a² und b² zu schreiben, finde ich auch ziemlich praktisch.

Vielen Dank für eure Hilfe!

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