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Hypothesentests_Binomial- und Normalverteilung

Universität / Fachhochschule

Tests

Tags: Binomialverteilung, Hypothesentest, Normalverteilung, test

Parabelchen aktiv_icon

11:08 Uhr, 23.07.2016

Hallo ihr lieben Mathematiker,

seit wenigen Wochen beschäftige ich mich im Rahmen meines Studiums mit Statistik. Es läuft ganz gut, aber gerade hänge ich an einem Thema, nämlich Hypothesentests.
Ich habe ein tolles Statistikbuch durchgearbeitet, in dem, je nachdem, welche Bedingungen man so hat, unterschiedliche Teststatistiken aufgeführt sind. Wenn man eine Normalverteilung hat und beispielsweise

H 0

lautet, dass im Mittel

1000

ml Bier abgefüllt werden, die

H 1

behauptet aber das Gegenteil

-

in welche Richtung auch immer - bedient man sich der netten Standardnormalverteilungstabelle (oder muss bei unbekannter Varianz eben die T-Verteilung nehmen .. mit Freiheitsgraden und so).
So, was ist jetzt aber mit Wahrscheinlichkeiten?
In diesem Statistikbuch steht, dass, wenn: np(1−p)

> 9

eine Binomialverteilung sich toll an die Normalverteilung annähern lässt. Die Teststatistik dazu lautet (oh je, jetzt muss ich hier auch noch kreativ werden):

T = \frac{p - p 0}{\sqrt{p 0 (1 - p 0)}} \sqrt{n}

(ich hoffe, es ist so einigermaßen ersichtlich, was ich meine .. die kritischen Werte werden hier (je nachdem) mit beispielweise

z_{1} - \frac{α}{2}

(das rückt grad nicht nach unten, aber ihr wisst Bescheid) berechnet, also mit der Standardnormalverteilung ^^")

Jetzt meine wahrscheinlich überaus blöde Frage: Ist das Testen mit Wahrscheinlichkeiten, wie hier beschrieben, dasselbe als würde ich mit der Binomialverteilung arbeiten? Also ist es quasi nur ein anderer Weg oder wie muss ich mir das vorstellen? Und ja, ich kann es mir nicht vorstellen, ich habe in kurzer Zeit so viele Infos verarbeiten müssen, da fällt eben auch mal was runter und man sieht den Wald vor lauter Bäumen nicht. Geht mir öfter so. :-D)

Ich weiß übrigens auch theoretisch, was der Unterschied zwischen Normal (stetig)- und Binomialverteilung (diskret - ich weiß nur nicht, warum) ist, aber in all den Büchern und Beispielen, die ich gesehen habe, erkenne ich nicht ansatzweise ein logisches Muster. Ich habe mit der Normalverteilung fröhlich berechnet, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Meerschweinchen zwischen 6 und 7 wird. Oder bis zu 7 oder andersrum. Mit der Binomialverteilung habe berechnet, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Erfolg oder Misserfolg eintritt (mindestens, höchstens, genau usw).

Na wie auch immer, vielleicht könnt ihr mich erleuchten. Und bitte nehmt Rücksicht, ja? Ich stecke wirklich noch in den Kinderschuhen. ;-)

Liebe Grüße und schönes Wochenende!

Christin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente
Hypothesentest

DrBoogie aktiv_icon

12:40 Uhr, 23.07.2016

"Ist das Testen mit Wahrscheinlichkeiten, wie hier beschrieben, dasselbe als würde ich mit der Binomialverteilung arbeiten"

Leider ist Deine Frage schwer zu verstehen. Das beginnt schon mit dem Ausdruck "Testen mit Wahrscheinlichkeiten". Was meinst Du damit?

Das Ziel eines Tests ist eine Aussage über einen Parameter, der unbekannt ist, aber geschätzt werden kann. Wenn ich z.B. weiß (woher auch immer), dass die Menge des abgefüllten Bieres normalverteilt ist, also

N (μ, σ)

, aber ich weißt den exakten Wert des Parameters

μ

nicht, kann ich ihn zuerst mal durch

\frac{\sum_{i = 1}^{n} B_{i}}{n}

schätzen (

B_{i}

ist die Menge vom Bier im

i

-ten Krug) und dann fragen: "kann es sein, dass

μ = 1000

ist?" Dazu vergleicht man den Schätzer

\frac{\sum_{i = 1}^{n} B_{i}}{n}

mit dem fixen Wert

1000

und nutzt die Tatsache, dass

B_{i}

normalverteilt sind (deshalb kuckt man dann am Ende in die Normalverteilungstabelle). Sind

B_{i}

nicht normalverteilt, funktioniert das Ganze nicht wirklich. Allerdings hängt das Maß "wie stark funktioniert das nicht" davon ab, wie stark die tatsächliche Verteilung von der Normalverteilung entfernt ist. Ist die tatsächliche Verteilung nah an der Normalverteilung, so kann man auch den Test immer noch nutzen, denn seine Ergebnisse sind "fast richtig". Und da die Binomialverteilung bei bestimmten Bedingungen nah an der entsprechenden Normalverteilung ist, nutzt man den Test, der eigentlich nur für Normalverteilung konzipiert ist, auch für Binomialverteilungen.

Parabelchen aktiv_icon

13:03 Uhr, 23.07.2016

Danke für die Antwort. Ja, mein mathematisches Fachchinesisch ist unter aller Sau. Ich weiß, was du meinst und das habe ich auch verstanden. :-)

Vielleicht anders:
Ich schaue mir gerade eine Videoreihe über dieses Thema an. Da tauchen Aufgaben auf, wie: ein Würfel wird 100mal gewürfelt und nun wird behauptet, es sei kein Laplace-Würfel. Also im Sinne eines beidseitigen Tests zum Beispiel, nö? Am Ende findet man durch ein bisschen Rechnerei und Nachsehen in der Binomialtabelle die kritischen Werte (also würde meinetwegen 56mal die 6 gewürfelt, würde

H 0,

die behauptet, es sei ein fairer Würfel, abgelehnt - ist jetzt nur ausgedacht).
In nächsten Video geht es dann plötzlich los mit einem "Gauß-Test". Da werden, so wie in dem Buch, das ich gelesen habe, Teststatistiken oder Prüfgrößen benutzt, mit denen die kritischen Werte verglichen werden. Wie du schreibst, wird dabei der Mittelwert aus einer Stichprobe mit dem der Grundgesamtheit verglichen. Jetzt gibt es aber auch für die Varianz oder Wahrscheinlichkeiten so eine Prüfgröße. Und ich frage mich, ob man mit der Prüfgröße für Wahrscheinlichkeiten auch so eine Aufgabe (siehe Würfel) berechnen kann oder nicht. Das irritiert mich. Und noch viele andere Dinge. :-D)

Liebe Grüße

DrBoogie aktiv_icon

13:10 Uhr, 23.07.2016

"ob man mit der Prüfgröße für Wahrscheinlichkeiten"

Meinst Du z.B. die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wurf eines Würfels 6 fällt?
Das ist auch ein Parameter einer Verteilung, der geschätzt und getestet werden kann.
Es gibt keinen grundsätzlichen Unterschied zwischen

μ

der Normalverteilung und

p

beim Wurf eines Würfels.

Parabelchen aktiv_icon

13:35 Uhr, 23.07.2016

"Testen mit Wahrscheinlichkeiten" - so stehts im Buch, deshalb schreibe ich das so. Im Buch beispielsweise geht es um einen Würfel, der 300mal geworfen wurde und 33mal ergab sich dabei eine 6. Jetzt kann man damit ja die "beobachtete" Wahrscheinlichkeit berechnen (bzw schätzen) und der Wahrscheinlichkeit (bei fairem Würfel)

0,166

gegenüberstellen. Und dabei ist es bei hinreichenden Bedingungen egal, ob ich einen

k

Wert aus der Binomialtabelle bestimme oder einen, den ich mit der Prüfgröße vergleiche? Kommen nur jeweils andere Zahlen heraus, was? Sagt aber trotzdem dasselbe aus. Mensch, Statistik ist verwirrend.

Danke für die Hilfe! Ich bin sehr froh, dass ich die Möglichkeit habe, meine manchmal dusseligen Fragen zu stellen und jemand gibt eine freundliche Antwort. ;-)

anonymous

13:57 Uhr, 23.07.2016

Huch da war ich aber sehr langsam mit meiner Antwort. Das sollte iegentlich direkt nach der Ersten Antwort kommen :-)

Ich ergänze mal noch zum zweiten Teil: Unterschied NV und BV
Bei dem Bsp: Erfolg/Misserfolg
Um zu unterscheiden ob etwas NV oder BV ist, frag dich ob nicht natürlich Zahlen eine sinnvolle Interpretation haben. Wie soll man sich

0,5

Erfolge vorstellen?
Die Anzahl der Erfolge sind also nicht stetig sondern diskret. Es kann sich also nicht um die BV handeln. Es bleibt also nur die NV (Natürlich gibt es noch viel mehr Verteilungen aber hier gehts ja erstmal nur um NV und BV)

Bei dem Bsp. Hamster:
Es geht um das Alter. Also kann ich mir

6,5

Jahre vorstellen? Hört sich in ordnung an oder? So auch

3,6487544685

Jahre... Also Normalverteilt, richtig?
Nicht so ganz. Wenn etwas NV ist, dann muss man auch negative Werte interpretieren können. Und ein Alter von

- 6

Jahren ist doch etwas seltsam.
Prinzipiell kann man ohne genaue Angaben nichts über die genaue Verteilung aussagen, deshalb sollte der Text Hinweise enthalten welche Verteilung man annehmen sollte.
Bei den Hamstern könnte dabei stehen: Nehmen sie eine NV an.
Bei (Miss)erfolgen: Es geht um mehrfachen Würfelwurf.

(Anmerkung: Diese Erklärung von stetig und diskret ist sicherlich etwas ungenau...)

Nochmal kurz zu:
>Ist das Testen mit Wahrscheinlichkeiten, wie hier beschrieben, dasselbe als würde
>ich mit der Binomialverteilung arbeiten?
Nein es ist nicht das Selbe bzw nicht der gleiche Test(Nur das gleiche Prinzip). Man kann auch den exakten Test mit der Binomialverteilung durchführen und würde unterumständen eine andere Testentscheidung bekommen. Am pc könnte man einfach den exakten Test machen, aber mit Tabellen oder Taschenrechner wird das schnell aufwendig. Binomialverteilung hängt von x(#Erfolge), n(stichprobengöße) und p(W'keit für Erfolg) ab, die Normalverteilungstabelle begrenzt sich durch das standatiesieren nur auf

z

. Die Approximation mit der NV macht dir sozusagen das Leben ein bisschen einfacher.

Ein bedingt wichtige Frage die du dir noch stellen könntest:
Warum nutzt man als kritischen Wert bei der Formel die du geschrieben hast

z_{1 - \frac{α}{2}}

. Also ein Quantil der NV und nicht das der T-Verteilung.
Ich weiß nicht wie wichtig das wirklich ist aber ich glaube es kann das Verständis von Hypthesentests verbessern :-)
und noch eine Frage:
Was ist der prinzipielle Unterschied von

P (X = 6),

wenn

X

a)stetig ist oder b)diskret. Dabei geht es nicht um exakte Werte...

Parabelchen aktiv_icon

14:22 Uhr, 23.07.2016

Wuah! :-D) So ein Brocken. Danke dir.

Die t-Verteilung bemühe ich doch eigentlich, wenn mir die Varianz nicht gegeben ist (so stehts jedenfalls im Buch :-D) ).

Stetig oder diskret. Wenn ich mir das vorstelle, sehe ich einerseits eine Kurve, denn stetig erfasst ja nicht nur ganze Zahlen. Sondern auch die "Zischenräume". Und die können ja unendlich groß sein (schreibt man das so?). Deshalb ist die Wahrscheinlich dafür, dass

X

irgendeinen konkreten Wert annimmt, immer Null, ja? Und deshalb macht es Sinn, zu schauen, mit welcher Wahrscheinlichkeit

X

einen Wert in einem bestimmten Intervall, in dem ein konkreter Wert vorkommt, annimmt. Ich glaube, ich schwimme gerade ganz woanders. Aber macht ja nichts. :-D)

anonymous

14:47 Uhr, 23.07.2016

Ja genau und wenn du den Test mit

T = . .

. (deine Formel im erste Post) dann ist doch die varianz nicht gegeben, trotzdem nimmt man nicht die T-verteilung.
Aber mach dir erstmal keine Gedanken darum und kümmere dich um das was du noch selbst noch wissen willst, sonst wird das ,gaube ich, zu viel.

-und die Frage wegen stetig und diskret habe ich gestellt da es ja anscheinend noch probleme damit gibt. Also BV und NV (falls nur diese 2 zur Auswahl stehen) kann man anhand von stetig und diskret unterscheiden.
Ansonsten passt das was du geschrieben hast(falls ich dich nicht missverstehe)

Den Rest überlasse ich jetzt wieder Boogie :-)

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15:06 Uhr, 23.07.2016

Cool. Dann sende ich meinen Helfern hiermit einen imaginären Obstkorb. :-D) Habt ihr euch verdient. Danke!
Ich muss jetzt erstmal alles überdenken und wenn dann noch Fragen auftauchen, weiß ich, wohin ich damit darf. :-D)

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15:06 Uhr, 23.07.2016

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