Integrationsmethode Substitution; dx, dy, du usw.

Nabend ihrs!

Bin frisch im Kapitel Integration, und kann mittels Grundintegrale bereits einfache Flächen, die durch Kurven begrenzt werden berechnen.

Nun komm ein Kapitel im Buch, das sich mit verschiedenen Integrationsmethoden beschäftigt, die erste wäre die Substitution. Am Beispiel ${\displaystyle \int \sqrt{2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ wird's erklärt.

2x+1 wird durch u ersetzt. im Buch steht dann

${\displaystyle \mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=2}$

${\displaystyle \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}}$

Ich hab schon beim Differenzieren nicht so richtig verstanden, was dx, dy usw. bedeuten soll. Die Kettenregel ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\prime =\frac{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*\frac{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ war mir in dieser Form nie klar; ich wusste, dass ich von der äußersten zur innersten Funktion ableiten muss, und alles mit * verbinde.

Jetzt hab ichs wieder damit zu tun, und bin aber offensichtlich darauf angewiesen, da ich dx bei der Substitution anders ausdrücken muss.

Edit: Ach, noch etwas...

Im Buch wird dann nach Substitution so vorgegangen:

${\displaystyle \int \sqrt{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}=\int {\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}}\frac{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}=\frac{1}{2}*\int {\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ usw, bis dann das Ergebnis ${\displaystyle \frac{1}{3}*\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\sqrt{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ herauskommt.

Da dachte ich mir, das hätte ich gleich so gemacht, nur ohne Substitution.

${\displaystyle \int (2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1{)}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{2*(2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1{)}^{\frac{3}{2}}}{3}=\frac{2}{3}*(2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)*\sqrt{2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}$

Es kommt fast das gleiche heraus, nur ist der Faktor 2/3, und nicht 1/3.

Habe ich einen Rechenfehler gemacht? Oder darf man aufgrund der verketteten Funktion nicht ohne Substitution rechnen? Wenn das so ist, wieso nicht? Ich habe doch nichts anderes gemacht, als mit Substutution.