Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Ideal über R[X,Y]

Ideal über R[X,Y]

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Ideal, Integritätsbereich, Ring

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
tomy84

tomy84

11:11 Uhr, 30.06.2011

Antworten
Hallo,

ich hätte da noch ne Frage:
Ich habe folgende Aufgabenstellung:
Sei R ein Integritätsbereich. Zeige, daß das Ideal (X,Y)∈R[X,Y] nicht von einem
Elemente erzeugt werden kann. (R[X,Y] ist der Polynomring in X und Y mit Koeffizienten aus R)

Meiner Meinung nach stimmt das so nicht:

Sei Z der ggT(X,Y) dann lässt sich das Ideal (X,Y) doch aus dem Ideal (Z) erzeugen, oder wo ist da mein Denkfehler?

So um hier das ganze etwas sinnvoller zu gestalten, würde ich das umformulieren:

Sei R ein Integritätsbereich. Zeige, daß das Ideal (X,Y)∈R[X,Y] nicht von einem
Elemente (ungleich der 1∈R) erzeugt werden kann. Dabei gelte ggT(X, Y)=1.

Dann kann ich den entsprechenden Beweis schon durchrechnen, dass ist -find ich- nicht mehr sehr schwer.

Kann mir bitte jemand sagen, ob mein erster Ansatz soweit richtig ist.

gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

11:27 Uhr, 30.06.2011

Antworten
Hallo,

das Ideal (X,Y) muss ja kein Hauptideal sein. Der Ring R[X,Y] ist im allgemeinen kein Hauptidealring mehr.

Mfg Michael
Antwort
Sina86

Sina86

11:33 Uhr, 30.06.2011

Antworten
ggT(X,Y)=1=Z, somit ist (Z)=R[X,Y]. Da aber weder X noch Y Einheiten sind, gilt 1∉(X,Y) und somit (X,Y)≠(Z), zweifelsohne aber (X,Y)⊂(Z).
tomy84

tomy84

12:23 Uhr, 30.06.2011

Antworten
Hallo,
ich versuch jetzt mal euch beiden zu antworten:

@Michael:
Dass ich kein Hauptideal erhalte war mir generell klar (wenn ich (X,Y) als Ideal wähle), dass R[X,Y] im allgemeinen ebenfalls kein Hauptidealring ist ebenfalls.

Aber ich muss doch zeigen, dass die Aussage immer gilt. Und ich dachte halt, wenn ich einen Hauptidealring fände, in dem zusätzlich gilt dass der ggT (X,Y)=Z (ungleich 1), dann bekäme ich ein Problem mit der Aussage.

Warum kann ich generell keinen solchen Hauptidealring konstruieren?

Mir ist im Moment nicht klar, warum es nie ein soches Element Z (welches keine Einheit sei) gibt.

Dazu auch gleich passend @Sina:
ok, dass ist schon klar, dass ich nicht x und y als Einheiten wählen darf. Warum ist der ggT(X,Y) dann =1 (immer)?
Ja wenn ich das weiß (oder fordere) ist mir die gesamte aufgabe absolut klar, aber warum?

gruß (und danke vorab für die Hilfe)
tomy
Antwort
Sina86

Sina86

12:54 Uhr, 30.06.2011

Antworten
Also, X,Y können nicht gewählt werden, dass sind zwei konkreten Elemente des Ringes
R[X,Y]:={∑s+t=0nas,tXsYt∣n,s,t∈ℕ0,as,t∈R} mit den entsprechenden Verknüpfungen der Addition und Multiplikation. Warum nun X und Y teilerfremd sind, muss man nachrechnen.

Und nein, dass g(a,b)=1 ist, wenn a,b nicht-Einheiten sind, stimmt nicht, z.B. ggT(2,4)=2 in ℤ. Aber wenn a oder b Einheiten wären, dann wäre ggT(a,b)=1. Aber vergiss die Bemerkung, die ist irreführend...
Frage beantwortet
tomy84

tomy84

13:35 Uhr, 30.06.2011

Antworten
Hallo,

ok die "Bedeutung" von X und Y, auf die du micht hingewiesen hast, löst per se ja eigentlich die Frage, was ggT(X,Y) ist. Wie R[X,Y] (als Menge) definiert ist, ist klar.

"Warum nun X und Y teilerfremd sind, muss man nachrechnen." -Wie würde man das generell machen?

Das Beispiel, das du unten genannt hast, war auch das was mir im Kopf war.

Ich glaube aber, mit deiner Hilfe komm ich dennoch zurecht, wenn ich -denk ich- zeigen kann, dass es zwei Elemente in (X,Y) gibt, die nicht aus dem gleichen (Z) erzeugt werden können, dann hab ich doch alles gezeigt.

Gruß