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Idempotenz beweisen in einer Matrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

Quallent

12:36 Uhr, 21.09.2014

Also es ist eine

2 x 2

Matrix in

R

mit "+","*" gegeben.

Aufgaben Teil

e)

lautet:
Finden Sie eine

2 x 2

Matrix (keine Nullmatrix und auch kein Ring mit Einselement) die
folgende Eigenschaft hat:

A^{2} = A, A^{3} = A, A^{4} = A, ... . A^{n} = A

Also eine mit der Eigenschaft der idempotenz.

Ich habe schon mehrere Ansätze probiert, aber keiner hat so richtig funktioniert.

Das erste was ich tat war rumknobeln, dann versuchte ich ein LGS mir zu drehen, aber
irgendwie bin ich an den Unbekannten gescheitert, denn wie soll ich eine allgemeine Matrix denn dazu aufstellen?

Na ja vlt. habt ihr eine Idee. Ich weiß, das rumprobieren macht eigentlich Spaß, aber ich suche nach einer Herangehensweise die viel gezielter ist, damit ich in der Klausur nicht unnötig Zeit verliere.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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13:02 Uhr, 21.09.2014

Kannst du mal ein Bild der gesamten Aufgabe posten?

Quallent

13:39 Uhr, 21.09.2014

Klar, hier ist sie

Quallent

13:43 Uhr, 21.09.2014

ahh fuck das kann man nicht richtig lesen. noch einmal

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13:57 Uhr, 21.09.2014

A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

tut es. Falls man das nicht unmittelbar sieht, kann man notfalls einen allgemeinen Ansatz machen:

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = (\begin{matrix} a^{2} + b c & a b + b d \\ a c + c d & b c + d^{2} \end{matrix})

Also:

a = a^{2} + b c

b = b (a + d)

c = c (a + d)

d = b c + d^{2}

Setzt man

b = c = 0

bleibt

a = a^{2}, d = d^{2}

übrig (also

a

und

d

beide entweder 0 oder

1)

. Es soll nicht Nullmatrix bzw. Einheitsmatrix sein, also wählen wir

a = 1, d = 0

(umgekehrt geht natürlich auch).

Quallent

14:08 Uhr, 21.09.2014

Nein das ist nicht korrekt. Multiplizier das mit sich selbst und du erhälst eine Nullmatrix raus. Also ich bin bei Aufgabe

e),

der idempotenz. Ich musa A mit sich selbst multiplieren und soll dann A wieder rauskriegen.

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14:09 Uhr, 21.09.2014

Du irrst dich! ;-)

Quallent

14:13 Uhr, 21.09.2014

aber man rechnet es so:

1 \cdot 0 + 0 \cdot 0

0 \cdot 1 + 0 \cdot 0

00

00

Quallent

14:16 Uhr, 21.09.2014

ohhh, ich hab grad nachgeguckt. Ok stimmt. hast recht. Mir wurde die matrizenrechnung falsch erklärt

- . -!

Danke!

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14:17 Uhr, 21.09.2014

Aha damit kann ich jetzt nicht viel anfangen. Vielleicht schaust du dir nochmal an wie die Matrizenmultiplikation gemacht ist.

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

Edit: Haha dann hat sich das ja geklärt :-)

Respon

14:28 Uhr, 21.09.2014

Oder wenn man besagte Matrix allgemein darstellen will:

(\begin{matrix} x & y \\ z & u \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x & y \\ z & u \end{matrix}) = (\begin{matrix} x^{2} + y \cdot z & x \cdot y + u \cdot y \\ x \cdot z + u \cdot z & y \cdot z + u^{2} \end{matrix})

Es ergeben sich folgende Gleichungen.
I.

x^{2} + y \cdot z = x

II.

x \cdot y + u \cdot y = y

III.

x \cdot z + u \cdot z = z

IV.

y \cdot z + u^{2} = u

Aus II. und III. ergibt sich sofort

x = 1 - u

x = 1 - u

in I. eingesetzt ergibt

z = \frac{u \cdot (1 - u)}{y}

Den gleichen Term für

z

erhält man, wenn man für

x

in IV. einsetzt.
Die Matrix hat also folgende Gestalt:

(\begin{matrix} 1 - u & y \\ \frac{u \cdot (1 - u)}{y} & u \end{matrix})

Dabei sind

y

und

u

frei wählbar

(y \neq 0)

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14:39 Uhr, 21.09.2014

So ganz stimmt das natürlich nicht, damit erreichst du nichtmal Einheitsmatrix oder Nullmatrix. Wichtig ist, dass aus II. nur

x = 1 - u

oder

y = 0

und aus III. nur

x = 1 - u

oder

z = 0

folgt. Dann muss man halt paar Fälle durchspielen.

Respon

14:41 Uhr, 21.09.2014

Ja die Hektik !
( der Wille steht fürs Werk )

Quallent

14:58 Uhr, 21.09.2014

Danke für die Arbeit mit der allgemeinen Form. Nur genau da scheitert es bei mir. Also

z . b

. wie kann Zeile 2 und 3 denn

x = 1 - u

ergeben?

II. x⋅y+u⋅y=y
III. x⋅z+u⋅z=z

= y - z + y - z = y - z

Irgendwo hackt es da bei mir.

Respon

15:05 Uhr, 21.09.2014

x \cdot y + u \cdot y = y

y \cdot (x + u) = y

| : y \neq 0

x + u = 1

x = 1 - u

x \cdot z + u \cdot z = z

z \cdot (x + u) = z

| : z (

hier war ich ungenau, es muss ja auch

z \neq 0

gelten )

x + u = 1

x = 1 - u

Also

z = \frac{u \cdot (1 - u)}{y} \neq 0

(...

. so in etwa )

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