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Identität

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Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen

Jn948 aktiv_icon

21:50 Uhr, 13.10.2010

Was versteht man eigentlich unter einer Identität und könnte mir bitte jemand anhand der Menge

A = (1,2,3,4,5,6)

die Identität zeigen. Danke für alle Hilfsbereiten im voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

teppich aktiv_icon

22:07 Uhr, 13.10.2010

Identität nennt man in der Mathematik Abbildungen, die nichts ändern.

Multiplikation mit 1 wäre z.B. eine Identität oder in deinem Fall:

i d ({1, 2, 3, 4, 5, 6}) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Sina86

22:34 Uhr, 13.10.2010

Hi,

entschuldigt wenn ich mich einmische, aber ich glaube da sollte man noch etwas zu ergänzen:

Die Identität auf einer Menge

M

ist immer definiert als die Abbildung:

i d : M \to M, x \mapsto x

, also die Abbildung die nichts ändert. Dies ist eine sogenannte triviale Abbildung, da man sie automatisch zu jeder Menge, die man definiert, dazu bekommt.

In deinem Beispiel wäre das also

i d : {1, 2, 3, 4, 5, 6} \to {1, 2, 3, 4, 5, 6}

mit

i d (1) = 1

i d (2) = 2

, etc.

Der Beitrag von teppich ist etwas problematisch (sorry!), das Beispiel mit der Multiplikation mit 1 ist zwar ein gültiges Beispiel, funktioniert allerdings nur auf Teilmengen von

ℝ

, bzw. auf Mengen, auf denen einen Verknüpfung mit einem Einselement definiert ist, dies ist jedoch keine Voraussetzung für die Existenz der Identität.

Das zweite Beispiel mit

i d ({1, 2, 3, 4, 5, 6}) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ist missverständlich, da

i d

jede Permutation, also jede bijektive Abbildung auf der Menge sein kann. Z.B. gilt auch für

f : {1, 2, 3, 4, 5, 6} \to {1, 2, 3, 4, 5, 6}

mit

f (1) = 2

f (2) = 5

f (3) = 3

f (4) = 6

f (5) = 1

f (6) = 4

dass

f ({1, 2, 3, 4, 5, 6}) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ist (surjektiv!), jedoch ist

f

nicht die Identität ist, da z.B.

f (1) \neq 1

ist (dass

f (3) = 3

ist, ist dann unerheblich, denn die Gleichheit muss für alle Zahlen gelten).

Lieben Gruß
Sina

teppich aktiv_icon

23:03 Uhr, 13.10.2010

Ich räume ein, ein wenig zu allgemein formuliert zu haben.

Betrachtet man Abbildungen der Art

A \to A

, so stimme ich dir zu. Dann bezeichnet

i d_{A}

die von dir beschriebene Abbildung.
Jedoch in Strukturen

M

, in denen A als Element auftaucht bildet die dortige Identität (

i d_{M}

) das Element A auf sich selbst ab. (

f : M \to M

mit

A \in M

)

Jn948 aktiv_icon

00:11 Uhr, 14.10.2010

könnte man die Identität der Menge

A = (1,2,3)

auch so ausführen:

id:

(1,2,3) - \to (1,2,3)

mit id(1)

= 1,

id(2)=3, id(3)

= 2

oder bildet sich wirklich jedes Element aus der Definitionsmenge in der Wertemenge auf sich selbst ab, da ja eigentlich alle Elemente in diesem aufgeführten Beispiel auch in beiden Mengen vorkommen?

Desweiteren möchte ich mich für eure Hilfsbereitschaft sehr bedanken.

hagman aktiv_icon

10:15 Uhr, 14.10.2010

Man spricht nur dann von der Identität, wenn Definitions - und Wertemenge dieselbe sind. Alsoist die Abbildung

A \to A, x \mapsto x

die Identität von

A,

bezeichnet mit

i d_{A}

.
Dagegen heisst

ℤ \to ℝ, x \mapsto x

nicht Identität, sondern Inklusionsabbildung (die man trivialerweise aufgrund der Beziehung

ℤ \subseteq ℝ

hat).

Nochmal kurz:
Ist

A

eine beliebiege Menge, so haben wir automatisch eine Abbildung (die sog. Identität)

i d_{A} : A \to A

x \mapsto x

EDIT: Eine Abbildung

f : A \to B

ist also gewiss nichtdie Identität, wenn

A \neq B

. Un eine Abbildung

f : A \to A

ist gewiss nicht die Identität, wenn es ein

x \in A

mit

f (x) \neq x

gibt

Jn948 aktiv_icon

12:21 Uhr, 14.10.2010

sehr gut und verständlich erklärt...zur Bestätigung würd ich noch gerne wissen, ob die Identität der Menge

A = (1,2,3)

von mir richtig abgebildet wurde, ansonsten ist alles blausibel.

hagman aktiv_icon

14:14 Uhr, 14.10.2010

Als du schriebst

id:

{1,2,3} \to {1,2,3}

mit id(1)=1, id(2)=3, id(3)=2
handelte es sich *nicht* um die Identität.
Vielmehr

id:

{1,2,3} \to {1,2,3}

mit id(1)=1, id(2)=2, id(3)=3

Jn948 aktiv_icon

23:19 Uhr, 14.10.2010

Danke für euer Bemühen!

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