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Implizites Eulerverfahren

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: nicht lineare Funktion

ellobo1987 aktiv_icon

17:05 Uhr, 07.07.2011

Hallo!

Ich versuche gerade das implizite und das explizite Eulerverfahren zu verstehen. Im Großen und Ganzen verstehe ich die Unterschiede, nur in der praktischen Umsetzung habe ich noch ein paar Probleme. Vielleicht kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen:

Man betrachte das Anfangswertproblem

y' (t) = s i n (y (t)) + y (t)

mit

t > 0

und

y (0) = 1

Aufgabe a.)
Man gebe eine Vorschrift zur Berechnung der näherungsweisen Lösung des Anfangswertproblems mit Hilfe des expliziten Eulerverfahrens an. Man berechne mit Hilfe dieser Vorschrift die näherungsweise Lösung

y_{1} \approx y (0, 1)

y_{2} \approx y (0, 2)

y_{3} \approx y (0, 3)

unter Verwendung der Schrittweise

h = 0.1

. Man runde das Zwischenergebnis auf 3 Stellen.

Dieses Beispiel habe ich richtig (glaube ich zumindest):

y' (t) = s i n (y (t)) + y (t)

mit

t > 0

und

y (0) = 1

y_{1} \approx y (0, 1)

y_{2} \approx y (0, 2)

y_{3} \approx y (0, 3)

und

h = 0.1

BV des expliziten Eulerverfahrens

y_{k + 1} = y_{k} + h * f (t_{k}; y_{k})

f (t_{k}; y_{k}) = s i n (y_{k}) + y_{k}

Dies wird in die BV eingesetzt:

y_{k + 1} = y_{k} + h * (s i n (y_{k}) + y_{k})

k = 0

y_{1} = y_{0} + h (s i n (y_{0}) + y_{0}) = 1 + 0.1 (s i n (1) + 1) = 1.184

k = 1

y_{2} = y_{1} + h (s i n (y_{1}) + y_{1}) = 1.184 + 0.1 (s i n (1.184) + 1.184) = 1.395

k = 2

y_{3} = y_{2} + h (s i n (y_{2}) + y_{2}) = 1.395 + 0.1 (s i n (1.395) + 1.395) = 1.633

Aufgabe b.)(Das eigentlich Problem)
Man gebe eine Vorschrift zur Berechnung der näherungsweisen Lösung des Anfangswertproblems mit Hilfe des impliziten Eulerverfahrens an. Man berechne

y_{1} \approx y (0, 1)

mit Hilfe dieser Vorschrift mit der Schrittweite

h = 0.1

unter Verwendung des Newton-Verfahrens. Man führe zwei Newton Schritt aus. Man runde bei Zwischenergebnissen auf 3 Stellen.

BV des impliziten Eulerverfahrens

y_{k + 1} = y_{k} + h * f (t_{k + 1}; y_{k + 1})

f (t_{k}; y_{k}) = s i n (y_{k + 1}) + y_{k + 1}

Dies wird in die BV eingesetzt:

y_{k + 1} = y_{k} + h (s i n (y_{k + 1}) + y_{k + 1})

Für

k = 0

y_{1} = y_{0} + h (s i n (y_{1}) + y_{1})

Alles auf eine Seite bringen:

F (y_{1}) = y_{1} - y_{0} - h (s i n (y_{1}) + y_{1}) = 0

F' (y_{1}) = \frac{d F}{d y_{1}} = 1 - h (c o s (y_{1}) + 1)

und das ganze in das Newton-Verfahren einsetzen.

Ab jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Kann mir jemand helfen?

Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

23:33 Uhr, 07.07.2011

Hallo,

Aufgabe

a)

ist richtig gelöst und auch bei der Aufgabe

b)

ist bisher alles richtig. Das Newton-Verfahren sieht dann so aus:

y_{1}^{(k + 1)} = y_{1}^{(k)} - \frac{F (y_{1}^{(k)})}{F' (y_{1}^{(k)})} = y_{1}^{(k)} - \frac{y_{1}^{(k)} - y_{0} - h \cdot (sin (y_{1}^{(k)}) + y_{1}^{(k)})}{1 - h \cdot (cos (y_{1}^{(k)}) + 1)}

Jetzt brauchen wir nur noch einen Startwert. Da nehmen wir am besten

y_{1}^{(0)} = y (0) = 1

.
Dann wäre der erste Newtonschritt:

y_{1}^{(1)} = y_{1}^{(0)} - \frac{y_{1}^{(0)} - y_{0} - h \cdot (sin (y_{1}^{(0)}) + y_{1}^{(0)})}{1 - h \cdot (cos (y_{1}^{(0)}) + 1)} = 1 - \frac{1 - 1 - h \cdot (sin (1) + 1)}{1 - h \cdot (cos (1) + 1)} = 1.218

Den zweiten der beiden verlangten Newton-Schritte darfst Du noch machen.

Viele Grüße
Yokozuna

ellobo1987 aktiv_icon

13:52 Uhr, 08.07.2011

Danke!

Bis jetzt habe ich es noch nicht verstanden wie man die verschiedenen Werte einsetzen muss - also vielen Dank!

Der erste Wert laut deiner Lösung:

y_{1}^{(1)} = y_{1}^{(0)} - \frac{y_{1}^{(0)} - y_{0} - h * (s i n (y_{1}^{(0)}) + y_{1}^{(0)})}{1 - h * (c o s (y_{1}^{(0)}) + 1)} = 1 - \frac{1 - 1 - * h (s i n (1) + 1)}{1 - h (c o s (1) + 1)} = 1.218

Wenn ich das richtig verstanden habe muss ich anstatt

y_{1}^{(0)}

nun

y_{1}^{(1)}

schreiben, um

y_{1}^{(2)}

berechnen:

y_{1}^{(2)} = y_{1}^{(1)} - \frac{y_{1}^{(1)} - y_{0} - h * (s i n (y_{1}^{(1)}) + y_{1}^{(1)})}{1 - h * (c o s (y_{1}^{(1)}) + 1)} = 1.218 - \frac{1.218 - 1 - * h (s i n (1.218) + 1.218)}{1 - h (c o s (1.218) + 1.218)} = 1.2152

Bin ich soweit richtig unterwegs?

Lg

Yokozuna aktiv_icon

15:26 Uhr, 08.07.2011

Nur im Nenner muß es

1 - h \cdot (cos (1.218) + 1)

heißen. Sonst ist alles richtig.

Viele Grüße
Yokozuna

ellobo1987 aktiv_icon

08:27 Uhr, 09.07.2011

Danke für deine Hilfe!

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