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Indirekter Beweis a² - b² = 10 => a,b !€ N
Universität / Fachhochschule
Tags: a² - b² = 10, Beweis durch Widerspruch, Indirekter Beweis
 
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Hallo zusammen, ich bin wirklich nicht die Beste im Beweisen, aber ich will diese Techniken der Mathematik unbedingt selbstständig anwenden können! Nun habe ich mir indirekte Beweise angeguckt und das logische Prinzip dahinter eigentlich verstanden. Meine Aufgabe lautet wie folgt: Zeigen Sie mit Hilfe eines indirekten Beweises, dass es keine zwei natürlichen Zahlen gibt, sodass a² - b² . Also schreibe ich: Es existiert ein es existiert ein sodass a² - b² mit € N. Ich habe nun umgeformt, umgestellt auf einige Weisen und unter anderem habe ich mir auch überlegt, dass a² b² sein muss, also auch da es sich um natürliche Zahlen handelt. Ich habe und und Wie kann ich nun weiter machen oder wo genau muss ich denn hin? Ich kann die Wurzeln nicht auseinander ziehen und im Grunde sind die Zahlen irrational und nur unter bestimmten Vorrausetzungen natürlich. Habe ich hier schon meinen Widerspruch? Kann ich mir kaum vorstellen! Ich habe noch weiter rumprobiert mit und die Ergebnise von oben eingesetzt, was ich rausbekomme sind wahre Aussagen wie Hilfe und Danke! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hossa ;-) Ich schlage vor, über die Faktorisierung zu gehen: . Dann kannst du dir überlegen, dass nur die beiden Faktorisierungen und in Frage kommen können. Und dann kannst du zeigen, dass es kein Paar (a,b) gibt, das diese Bedingungen erfüllt... Ok? |
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Hi, ich möchte mal eine generelle Anmerkung machen. Den indirekten Beweis kann man nur für Implikationen führen, also für Aussagen der Form . Der indirekte Beweis wäre dann . Bei dir wäre die Implikation wohl Also wäre der indirekte Beweis Du möchtest aber annehmen, dass gilt, dann zeigst du, dass die Annahme (also auf einen Widerspruch führt. Dies ist jedoch ein Widerspruchsbeweis und kein indirekter Beweis. Gruß Sina |
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Hallo danke für den neuen Ansatz! Ich habe das schon durchgerechnet und sehe durch die Faktorisierung, dass es keine natürlichen Zahlen gibt, die diese Gleichung erfüllen. Kann ich in meinem Beweis denn explizit hinschreiben Es kann nur zwei ungleiche, natürliche Paare geben, die miteinander multipliziert ergeben: und bzw. (Primfaktorzerlegung) Wenn ich das so machen kann/darf, folgt die Lösung auf den Fuß. Da ich dann habe und die zwei einzigen Faktoren kenne, die multipliziert ergeben, setze ich und . Aber irgendwas sagt mir, dass das dann wieder kein Beweis ist. Mir fehlt hier einfach der Tiefgang. Rechnerisch sieht man dann aber, dass a und nicht natürlich sein können. und Sina: Ich dachte indirekter Beweis und Beweis durch Widerspruch seien das Gleiche? |
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Naja, ich kenne eigentlich nur 3 Beweisarten: direkter Beweis, indirekter Beweis und Widerspruchsbeweis und in jeder Literatur, die ich kenne, werden diese Arten gleich benannt, aber vlt. ist das bei dir doch anders. Das, was ich einen "indirekten Beweis" nennen würde, nennt man manchmal auch "Kontraposition". Hast du vlt einen indirekten Beweis aus der VL oder so als Beispiel? Wenn dort ein Widerspruch hergeführt wird, dann ist euer "indirekter Beweis" mein "Widerspruchsbeweis". Bei einem Widerspruchsbeweis wärst du ja jetzt fertig, da beide Fälle auf einen Widerspruch führen. Warum fehlt dir da der Tiefgang? |
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