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Indizes richtig einsetzen, Indizierung verstehen

Universität / Fachhochschule

Tags: Indizes, Neville-Aitken-Schema, Numerik

tommy40629 aktiv_icon

16:22 Uhr, 29.05.2013

Hallo,

ich habe mit den Indizes im Satz unten Probleme.
Mit normalen Indizes wie

a_{i}

und

b_{k l}

kann ich umgehen.
Sofern die Doppelindizes in einer Matrix vorkommen.

Bei dem Satz unten, weiß ich gar nicht,was es bedeuten soll, wenn man natürlichen Zahlen Indizes zuweist.
So wie z.B.:

1_{4}

oder

5_{3}

Ich habe das in der Zwischenzeit Studenten aus höheren Semestern gefragt, sie sagten mir auch, dass es keinen Sinn macht einer natürlichen Zahl ihre Stelle per Indize zuzuweisen.
Die 1 steht immer an der 1. Stelle, wenn die Null nicht mit dabei ist und die 10 steht an der 10. Stelle.
Also gibt es für die natürlichen Zahlen eine eindeutige Indizierung, wobei der Index dann der zahl entspricht.

1_{1}

23 4_{234}

usw.

Nur in dieser Definition, scheinen die natürlichen Zahlen wild gewürfelt zu sein.
Hier ist die Indizierung unlogisch, aber sie ist da, aber wie funktioniert das?

Vielleicht kann mich da jemand aufklären?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

11:50 Uhr, 07.06.2013

Hallo,

die

j \in {1,2, ..., k}

sind die Indizes der

i,

damit erreicht man, dass

(i_{0}, i_{1}, ..., i_{k})

einfach eine Permutation der Zahlen 0 bis

k

ist. Man will mit dieser Schreibweise die Reihenfolge der

(x_{i}; y_{i})

vollkommen aussen vor lassen, es ist für eine bestimmte Reihenfolge

(i_{0}, i_{1}, ..., i_{k}),

aber die wieder ist beliebig ausgewählt und nicht fest

(0,1, ..., k)

.

Machen wir mal Dein Beispiel mit

k = 2

und

(x_{0}; y_{0}) = (0; 0), (x_{1}; y_{1}) = (- 1; 1), (x_{2}; y_{2}) = (1; 1)

. Dann sei noch

(i_{0}; i_{1}; i_{2}) = (2; 0; 1)

. Dann ist:

p_{201} (x) = \frac{1}{x_{1} - x_{2}} \cdot ((x - x_{2}) \cdot p_{01} (x) - (x - x_{1}) \cdot p_{20} (x))

p_{01} (x) = \frac{1}{x_{1} - x_{0}} \cdot ((x - x_{0}) \cdot p_{1} (x) - (x - x_{1}) \cdot p_{0} (x))

und wegen

p_{i} (x) = y_{i} :

p_{01} (x) = \frac{1}{x_{1} - x_{0}} \cdot ((x - x_{0}) \cdot y_{1} - (x - x_{1}) \cdot y_{0})

Setzen wir die Zahlen ein:

p_{01} (x) = \frac{1}{- 1 - 0} \cdot ((x - 0) \cdot 1 - (x - (- 1)) \cdot 0)

p_{01} (x) = (- 1) \cdot (x - 0) = - x

Und ausserdem:

p_{20} (x) = \frac{1}{x_{0} - x_{2}} \cdot ((x - x_{2}) \cdot p_{0} (x) - (x - x_{0}) \cdot p_{2} (x))

und wegen

p_{i} (x) = y_{i} :

p_{20} (x) = \frac{1}{x_{0} - x_{2}} \cdot ((x - x_{2}) \cdot y_{0} - (x - x_{0}) \cdot y_{2})

Setzen wir die Zahlen ein:

p_{20} (x) = \frac{1}{0 - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 0 - (x - 0) \cdot 1)

p_{20} (x) = (- 1) \cdot (0 - x) = x

Das in

p_{201} (x)

eingesetzt:

p_{201} (x) = \frac{1}{x_{1} - x_{2}} \cdot ((x - x_{2}) \cdot (- x) - (x - x_{1}) \cdot x)

p_{201} (x) = \frac{1}{(- 1) - 1} \cdot ((x - 1) \cdot (- x) - (x - (- 1)) \cdot x)

p_{201} (x) = \frac{1}{- 2} \cdot (- x^{2} + x - (x^{2} + x))

p_{201} (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- x^{2} + x - x^{2} - x)

p_{201} (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- 2 \cdot x^{2})

p_{201} (x) = x^{2}

Und das war ja bei der Ausgangslage der Punkte zu erwarten...

tommy40629 aktiv_icon

16:26 Uhr, 09.06.2013

Vielen Dank, für diese sehr ausführliche Antwort. An die permautation habe ich gar nicht gedacht.

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