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Induktion Pascalsches Dreieck

Universität / Fachhochschule

Tags: Bildungsgesetz, Pascalsches Dreieck

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11:38 Uhr, 22.03.2012

Moin moin,

ich habe hier mal wieder so eine Aufgabe an der ich mir ein bisschen den Kopf zerbreche.

Zeigen sie durch Induktion

(\binom{a}{k}) + (\binom{a}{k + 1}) = (\binom{a + 1}{k + 1})

für

k \geq 0

Also ich sitze da schon ein paar Stunden dran und habe auch schon einige Blatt Papier voll geschrieben.

Zu erst ein mal ist hier die Bedingung nicht hinreichend, oder? es muss

0 \leq k \leq a

, da der Bildungssatz bei

k > a

nicht funktioniert.

Also Induktion nach a, muss ich also zeigen das die mange

A

, der Elemente

a

, induktiv und damit

A = N

ist.

Erst einmal zeige ich also das

1 \in A

a = 1

und da

0 \leq k \leq a

muss ja

k = 0

sein, da sonst im zweiten Binomialkoeffizienten

k + 1 > a

ist.

(\binom{1}{k}) + (\binom{1}{k + 1}) = \frac{1!}{k! (1 - k)!} + \frac{1!}{(k + 1)! (1 - k - 1)!}

Maile erste Frage:
Kann ich jetzt hier einfach für

k

0

einsetzen?

Vielen Dank schon mal für die Hilfe.

mfg
ich

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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11:50 Uhr, 22.03.2012

k,0

?

Wieso solltest du sowas einsetzen fürfen?

z

z

. ist, dass wenn du

a = 1

links einsetzt, dass rechts das rauskommt, was laut Behauptung (oben) rauskommen soll wenn man

a = 1

einsetzt.

Also

(\begin{matrix} 2 \\ k + 1 \end{matrix}) = \frac{2!}{(1 - k)! \cdot (k + 1)!}

irena

11:57 Uhr, 22.03.2012

Hallo,
du sollst doch zeigen, wenn diese Gleichung für

k

gilt, dann gilt sie auch für

k + 1 \to

das a musst du nicht verändern.

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12:00 Uhr, 22.03.2012

Das ist nicht ganz richtig, man kann diese Induktion (und das ist eigentlich intuitiver) über a machen, so wie er es bisher versucht.

anonymous

12:29 Uhr, 22.03.2012

Tip:
Mit Induktion geht das vielleicht auch.
Aber viel einfacher geht der Beweis meines Erachtens einfach durch Ausrechnen.
Erinnere dich:

(a

über

k) = a! / k! / (a - k)!

Das schreibst du nun einfach für alle drei Terme auf's Blatt Papier.
Ein wenig Fakultäten schütteln, und schon steht die Lösung da...

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12:32 Uhr, 22.03.2012

Das hat er oben bereits schon angwandt, Induktion oder nicht ist egal, die Induktion ist hier nämlich heiße Luft, man macht genau dasselbe als wenn man es direkt zeigt.

Frage: Müsst ihr es mit Induktion zeigen? Wenn ja, weiter im Programm.
Wenn nein, forme direkt um (sind genau dieselben Schritte).

Du musst vor allem, die beiden Summanden auf denselben Nenner bringen (durch erweitern) und dann zusammen fassen, der Rest geht dann wie von selbst.

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12:37 Uhr, 22.03.2012

Dann scheine ich bei dem errechenen der BK was walsch zu machen -.-

ich schreib mal auf

(\binom{1}{k}) + (\binom{1}{k + 1}) = \frac{1!}{k! (1 - k)!} + \frac{1!}{(k + 1)! (1 - k - 1)!} = \frac{1! (k + 1)}{(k + 1)! (- k + 1)!} + \frac{1! (- k + 1)}{(k + 1)! (- k + 1)!} = \frac{1! ((k + 1) + (- k + 1))}{(k + 1)! (- k + 1)!} = \frac{1!}{(k + 1)! (- k + 1)!}

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12:38 Uhr, 22.03.2012

An der aufgabe steht beides, das erste habe ich nur schon gemacht

Underfaker aktiv_icon

12:47 Uhr, 22.03.2012

(k + 1) + (- k + 1) = 2 = 2!

Dann dden Induktionsschritt:

Du setzt links für

a \to a + 1

ein und machst genau dasselbe, ebenfalls wieder erweitern am Ende musst du dann darauf kommen:

(\begin{matrix} a + 2 \\ k + 1 \end{matrix}) = \frac{(a + 2)!}{(a - k + 1)! \cdot (k + 1)!}

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13:21 Uhr, 22.03.2012

oh man... klar, so ein dummer Fehler!

Ich muss jetzt noch zeigen das,

(\binom{a + 1}{k}) + (\binom{a + 1}{k + 1}) = (\binom{(a + 1) + 1}{k + 1})

(\binom{a + 1}{k}) + (\binom{a + 1}{k + 1}) = \frac{(a + 1)!}{k! (a + 1 - k)!} + \frac{(a + 1)!}{(k + 1)! (a + 1 - k - 1)!} = \frac{(a + 1)! (k + 1) + (a + 1)! (a - k + 1)}{(k + 1)! (a - k + 1)!} = \frac{(a + 1)! ((k + 1) + (a - k + 1))}{(k + 1)! (a - k + 1)} = \frac{(a + 2)!}{(k + 1)! (a + 1 - k)!} = (\binom{a + 2}{k + 1})

also ist

a + 1 \in A \Rightarrow A = N

und damit induktiv bewiesen??

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13:31 Uhr, 22.03.2012

Habe nicht jeden einzelnen Schritt geprüft aber dein Ergebnis stimmt.

Insgesamt, hast du es für a und für

a + 1

gezeigt und somit insgesamt bewiesen

\to

q . e . d

. "

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14:28 Uhr, 22.03.2012

Dann danke ich die für die Hilfe.

mfg
ich

anonymous

19:08 Uhr, 22.03.2012

Ich habe zwar jetzt den bisherigen Lösungsgang nicht im Detail verfolgt.
Und wahrscheinlich wirke ich jetzt auch ein wenig vorwitzig, wenn ich nochmals nachzocke.
Aber ich gestatte mir doch, einen Lösungsansatz in 7 Zeilen anzubieten.

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