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Induktion von Ungleichungen

Universität / Fachhochschule

Tags: Induktion, Ungleichung

EdYoung aktiv_icon

22:31 Uhr, 17.10.2017

Hallo,

ich habe folgende Aufgaben zu lösen:

Zeigen Sie die folgenden Ungleichungen

a) 4^{n} \geq {(n + 1)}^{3}

für

n \geq 3

b) 3^{n} \leq n!

für

n \geq 7

Da mein Mathematik-Professor mit Bomben und Granaten durchfällt, wenn es ums Erklären geht, möchte ich euch fragen, ob meine folgenden Lösungsvorschläge richtig sind. Bei Ungleichungen und der Induktion im Allgemeinen tue ich mir sehr schwer. Nicht zuletzt dadurch, da besagter Professor durch seine Tricks scheinbar sämtliche Regeln der Mathematik außer Kraft setzt.

Für

a)

sieht mein Lösungsvorschlag folgendermaßen aus:

a) 4^{n} \geq {(n + 1)}^{3}

für

n \geq 3

1)

Induktionsbasis:

n = 3 : 64 \geq 64

Wahre Aussage

2)

Induktionsvoraussetzung:

4^{n} \geq {(n + 1)}^{3}

3)

Induktionsbehauptung:

4^{n + 1} \geq {(n + 2)}^{3}

4)

Induktionsschritt:

4^{n} \geq {(n + 1)}^{3} /

Ich multipliziere mit dem Faktor 3

4^{n + 1} \geq 4 {(n + 1)}^{3} = 4 (n^{3} + 3 n^{3} + 3 n + 1)

4^{n + 1} \geq 4 n^{3} + 12 n^{2} + 12 n + 4

Zwischenschritt (aus der Informationsbehauptung):

{(n + 2)}^{3} = n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8

4^{n + 1} \geq n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8 + 3 n^{3} + 6 n^{2} - 4

4^{n + 1} \geq {(n + 2)}^{3} + 3 n^{3} + 6 n^{2} - 4

4^{n + 1} \geq {(n + 2)}^{3}

Für

b) :

b) 3^{n} \leq n!

für

n \geq 7

1)

Induktionsbasis:

n = 7 : 2187 \geq 5040

Wahre Aussage

2)

Induktionsvoraussetzung:

3^{n} \leq n!

3)

Induktionsbehauptung:

3^{n + 1} \leq (n + 1)!

4)

Induktionsschritt:

3^{n + 1} \leq (n + 1)! = (n + 1) n!

3^{n + 1} \leq 3^{n} (n + 1)

Kann das stimmen? Nebenbei hätte ich noch eine weitere Frage: Kann es sein, dass es mehrere Möglichkeiten gibt, für

a)

und

b)

die Induktion durchzuführen? Als ich im Internet danach recherchiert habe, wurde immer wieder eine andere Methode angewandt.

Ich bin noch ein ziemlicher Neuling, was diese Materie betrifft, also habt bitte Geduld mit mir und erklärt es so, dass ich es auch verstehe.

Vielen Dank im Voraus!

– EdYoung

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

23:15 Uhr, 17.10.2017

Hallo,

bei b) stimmt dein Induktionsschritt nicht:

3^{n} \leq n! \Rightarrow 3^{n + 1} = 3^{n} 3 \leq n! \cdot 3 \leq n! \cdot (n + 1) = (n + 1)!

,
da

3 \leq n + 1

.

Gruß ermanus

ledum aktiv_icon

23:24 Uhr, 17.10.2017

Hallo
du kannst immer verschiedene Wege gehen in einer Induktion, besonders bei Ungleichungen die ja fast nie scharf sind wie hier ,

b)

schreibst du im Induktionsschritt wieder die Induktionsbeh hin, du musst aber mit der indoors arbeiten also

3^{n} < n!

3^{n} \cdot (n + 1) = n! \cdot (n + 1)

3^{n} \cdot 3 < 3^{n} \cdot (n + 1) < (n + 1)!

n + 1 \geq 4

damit

3^{n + 1} < (n + 1)!

alle Elemente des Beweises hattest du schon richtig, nur ungeschickt zusammengefügt.
(die Behauptung gilt schon für

n \geq 4

nicht erst ab

7)

Gruß ledum

ermanus aktiv_icon

23:31 Uhr, 17.10.2017

@ledum:

3^{4} = 81

4! = 24

, also nochmal überprüfen ;-)

Bummerang

11:02 Uhr, 18.10.2017

Hallo,

natürlich gibt es immer mehrere Möglichkeiten, einen Beweis zu führen, warum nicht auch hier. Für

a)

mal eine (für bestimmte User dieses Forums möglichst umständliche) Alternative

4^{n + 1} = 4 \cdot 4^{n} = 4^{n} + 3 \cdot 4^{n}

\geq {(n + 1)}^{3} + 3 \cdot {(n + 1)}^{3} = {(n + 1)}^{3} + 3 \cdot {(n + 1)}^{2} \cdot (n + 1)

= {(n + 1)}^{3} + 3 \cdot {(n + 1)}^{2} + 3 \cdot {(n + 1)}^{2} \cdot n

> {(n + 1)}^{3} + 3 \cdot {(n + 1)}^{2} + 3 \cdot {(n + 1)}^{2}

= {(n + 1)}^{3} + 3 \cdot {(n + 1)}^{2} + 3 \cdot (n + 1) \cdot (n + 1)

= {(n + 1)}^{3} + 3 \cdot {(n + 1)}^{2} + 3 \cdot (n + 1) + 3 \cdot (n + 1) \cdot n

> {(n + 1)}^{3} + 3 \cdot {(n + 1)}^{2} + 3 \cdot (n + 1) + 1 = {((n + 1) + 1)}^{3}

= {(n + 2)}^{3}

Bei

b)

hast Du

m . E

. noch gar nichts bewiesen. Ich würde da wie ermanus oder so vorgehen:

0 < 3 \leq n + 1

UND

0 < 3^{n} \leq n!

\Rightarrow 3 \cdot 3^{n} \leq (n + 1) \cdot n!

und das ist, noch etwas umgeformt, die Ind.-beh.

3^{n + 1} \leq (n + 1)!

mathenoob2196 aktiv_icon

15:21 Uhr, 18.10.2017

hallo ich habe eine frage

kann man das auch nicht so lösen?

also beim schritt

4^{n} \geq {(n + 1)}^{3}

dann

\cdot 4

4^{n + 1} \geq 4 \cdot {(n + 1)}^{3}

dann

4^{n + 1} =

4 \cdot 4^{n}

und das ist größer gleich

\geq {(n + 1)}^{3} \cdot 4

und auf der rechten seite steht auch

{(n + 1)}^{3} \cdot 4

also ist es somit bewiesen oder ?

wenn wir wollen können 3 einsetzen

ermanus aktiv_icon

15:50 Uhr, 18.10.2017

Hallo mathenoob2196,
damit hast du doch nicht

4^{n} \geq (n + 1)^{3} \Rightarrow 4^{n + 1} \geq (n + 2)^{3}

gezeigt, sondern nur die Ungleichung mit 4 multipliziert, aber dein

Rechte-Seiten-Ziel ist nicht

4 (n + 1)^{3}

, sondern

(n + 2)^{3}

mathenoob2196 aktiv_icon

16:00 Uhr, 18.10.2017

oh danke hab mir schon gedacht dass es zu leicht ging

also ich habs jetzt gerechnet

{(n + 2)}^{3} =

n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8

und da komm ich nicht weiter ich weiß garnicht wie ich es weiterumformen soll damit ich irgendwie auf

{(n + 1)}^{3}

komme

ist es überhaupt gescheit diese methode zu verwenden?

ermanus aktiv_icon

16:15 Uhr, 18.10.2017

Wenn du es schaffst zu zeigen, dass

4 (n + 1)^{3} \geq (n + 2)^{3}

ist, bist du doch am Ziel.

mathenoob2196 aktiv_icon

22:09 Uhr, 18.10.2017

ich schaffe es einfach nicht es zu beweisen
ich komme dann auf

4 n^{3} + 12 n^{2} + 12 n + 4 \geq n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8

es ist ja klar das der term mit

4 n^{3} \geq

dem term mit

n^{3}

ist oder muss ich es noch mehr in faktoren zerlegen?

mathenoob2196 aktiv_icon

22:09 Uhr, 18.10.2017

ich schaffe es einfach nicht es zu beweisen
ich komme dann auf

4 n^{3} + 12 n^{2} + 12 n + 4 \geq n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8

es ist ja klar das der term mit

4 n^{3} \geq

dem term mit

n^{3}

ist oder muss ich es noch mehr in faktoren zerlegen?

ermanus aktiv_icon

22:28 Uhr, 18.10.2017

Alle nichtkonstanten Glieder auf die linke Seite, die Konstanten auf die rechte bringen ...

Nun klarer?

ledum aktiv_icon

22:35 Uhr, 18.10.2017

Hallo
anderer Rat, die rechte Seite von der linken abziehen und zeigen

> 0

also statt

a > b

a - b > 0

zeigen, das ist meist das einfachste.
Gruß ledum

letslearnthis aktiv_icon

15:17 Uhr, 19.10.2017

Gib hier Deine Frage ein. Gib am besten Deine bisherigen Lösungsansätze an. Du kannst hier auch Formeln schreiben. Beispiel:

x^{2} + 2 x + \frac{1}{x} = 0

edit: hat sich erledigt :-P)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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