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Infinitesimalrechnung- Unterschiede
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: Infinitesimalrechnung, Leibniz, newton
 
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Hallo liebe Mathefreunde! Diesmal brauch ich die ganz Hellen unter euch! :-D) Ich sitze gerade hier vor meine Facharbeit (Geht um's Integral) und bin nun an dem Punkt angelangt, wo ich mir nicht mehr sicher bin, was ich schreiben soll. Grund dafür ist, die Infinitesimalrechnung. Ich verstehe die leider nicht ganz. Den Nutzen kapiere ich natürlich; durch sie hat man das Differenzieren möglich gemacht. Aber es gibt ja zwei "Versionen": Die von Leibniz und die von Newton. Leider ist mir nicht klar, wie Leibniz das meint mit dem immer kleiner werdenden Steigungsdreieck und Newtons Theorie mithilfe der Fluxion kapier ich auch nicht. Ich weiß, dass das eine sehr komplizierte und nicht leicht zu erklärende Sache ist. (Hab mir sechs unterschiedliche Quellen durchgelesen und stoße immer wieder auf unverständliches Zeug.) Mal sehen, ob mir hier jemand helfen kann. ;-) Ich wäre zumindest sehr dankbar für auch nur ansätzliche Erklärungen!! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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ich kann glaube ich helfen... allerdings ein paar fragen vorab bevor ich hier einen riesen aufsatz schreibe... musst du nur leibnizs und newtons herangehensweise zur ableitung/integral erklaeren? oder musst du die ganze entstehungsgeschichte von newton/leibniz bis zum heutigem integral beschreiben? wieviel weisst du ueber grenzwerte? wieviel weisst du ueber ableitung/integral von heute (insbesondere den differentialquotienten)? |
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Hallo MokLok! Vielen Dank schon mal dafür, dass du dich bereit erklärst mir zu helfen! Also, ich muss über die Geschichte zur Entstehung des Integrals schreiben. Ich hab bei der Antike angefangen, wo . Archimedes schon krummlinig begrenzte Flächen mithilfe von berechnen konnte. Dann, habe ich etwas über Keppler und Cavalieri gelesen, die angeblich mit unendlichen Werten oder so ähnlich, versucht haben gewisse Sachverhalte zu beschreiben. Und genau auf die sollten Leibniz und Newton laut einer Quelle aufgebaut haben. Nur leider ist mir nicht klar, bzw. habe ich schwierigkeiten damit, unter dem ganzen "Fachmathematisch" ihren Ansatz zu verstehen, zumal die Autoren es wohl auch unnötig fanden Bilder einzubeziehen. ;-) Was ich weiß über Grenzwerte und das Differenzieren weiß: Nicht viel. Ich weiß halt nur, dass man eine Zahl mit dem oder 0 oder halt gegen einen Grenzwert laufen lassen kann. Das hilft (zumidest mir bisher nur) bei der Funktionsuntersuchung. (Wo läuft die Funktion im Unendlichen und so) Dann hilft der Grenzwert aber auch bei der Bestimmung der Ableitung, bzw. ist der bei die Ableitung an der Stelle . Die Ableitung gibt die Steigung der Funktion an. Die erste gibt bei ihren Nullstellen Extremstellen an, und die zweite Wendestellen. (Hinreichende Bedingungen jetzt mal vernachlässigt) Über's Integral weiß ich folgendes: Um das Integral von einer Funktion zu bestimmen, muss man ihre Stammfunktion bilden. Die Stammfunktion ist genau der gegenteilige Prozess der Differenziation, sprich man rechnet: Somit ist also die Ableitung der Stammfunktion unsere Funktion . Dann weiß ich halt noch so Sachen wie den Unterschied zwischen Flächenbilanz und gesamter Fläche, die Berechnung des Integrals von Rotationskörpern, die Berechnung des Integrals von einer von zwei Graphen eingeschlossenen Fläche. Natürlich weiß ich aber auch die Theorie Leibniz' dahinter: Er meinte, dass das Integral nichts anderes sei als eine Anordnung von immer kleiner werdenden, immer mehr werdenden Rechtecken. Dazu kann man halt die Theorie der Ober- und Untersummen als "Vorreiter" des Hauptsatzes ansehen. (Ober- und Untersummen kann ich - hab darüber 'nen Vortrag gehalten) Allgemein lässt sich also sagen, dass man die Anzahl der Rechtecke gegen Unendlich laufen lässt - so werden es immer mehr, die Lücken zwischen den Rechtecken werden kleiner bzw. verschwinden und die Flächenberechnung nähert sich einem exakten Wert. (Das ist es doch, was der Hauptsatz bedeutet, oder?) Gut, das wäre glaube ich, mein ganzes Wissen über das Integral, die Ableitung und den Grenzwerten. Ich hoffe, dass Du auf dieser Basis hoffentlich nicht zu viel schreiben musst, damit ich das kapiere. Danke nochmal für deine Hilfe! |
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sooo... (falls noch interesse besteht) bekannt sollte sein, dass man die steigung einer rampe mit dem steigungsdreieck berechnen kann und die fläche eines Rechtecks sollte auch bekannt sein. Damit lassen sich ganz gut steigungen berechnen, wenn man geraden vor sich liegen hat. wie macht man das nun aber, wenn die graphen rundungen aufweisen? Leibniz hat diese runden graphen in ganz viele "minigeraden" aufgeteilt, die aneinandergereiht werden. damit konnte er die steigung für jede minigerade bestimmen. Und ebenfalls konnte er die flaeche (ein duennes rechteck unter der minigeraden) unter jeder minigeraden berechnen. die aufsummierung der teilflaechen ergab dann die gesamtfläche unter dem graphen. da diese minigeraden aber nur eine näherung zum originalgraphen darstellen, hat er diese minigeraden als unendlich kurz betrachtet. so gelangte er zum differentialquotienten was eine unendlich kleine version des steigungsdreiecks darstellt und zum integral welches unendlich viele rechtecke aufsummiert, wobei die rechtecke selber alle unendlich duenn sind. Newton ist zu denselben ergebnissen gekommen, hat aber seine schluesse aus physikalischen überlegungen gezogen. er hat den graphen einer funktion als flugbahn eines partikels betrachtet. die funktion gab somit den ort dieses partikels zu jedem zeitpunkt an. um aussagen über die geschwindigkeit dieses partikels machen zu koennen, hat er die flugrichtung des partikels in und komponenten aufgeteilt. Die Änderungen in diese richtungen hat er als fliessend angesehen. um diesen fliessenden übergang zu schaffen, hat es sich überlegt wie die änderung nach einer minimalen zeitspanne, also im naechsten moment, aussieht und kam ebenfalls zu einem "unendlich kleinen" steigungsdreieck, wobei er eine andere notation verwendete, naemlich mit einem punkt darueber. (änderung in richtung) (änderung in richtung) jetzt wollte er aber auch den weg rückwärts gehen können. wenn also die geschwindigkeit eines partikels gegeben war, wollte er auf den ort des partikels schliessen koennen. hierfuer hat er seine berechnungen einfach umgedreht und hat implizit integriert. das funktionierte alles wunderbar, aber war das ganze mit der immer wiederkehrenden aussage "unendlich klein" nicht abgegessen. denn führt diese schwammige aussage zu widerspruechen. schaut man sich beispielsweise eine ableitung an teilt man durch eine unendlich kleine zahl . das ist erlaubt, ja groesser null ist. am ende jedoch bei ist ploetzlich gleich null. das hat den mathematikern nicht gefallen. und sie haben den grenzwert eingeführt und die ableitung stattdessen so definiert und die widersprueche haben sich in luft aufgeloest... |
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Hallo Moklok! Tschuldige, dass ich mich so spät erst melde, aber ich hatte viel um die Ohren. Danke für deine ausführliche und zum Glück auch verständliche Erklärung! Endlich hab ich ne Idee davon, was sich die beiden dabei gedacht haben! |
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