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Inhomogene DGL zweiter Ordnung, Ansatz?

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

BlargImDed aktiv_icon

20:22 Uhr, 06.06.2013

Hallo, habe ein Problem mit einer DGL. Die homogene Lösung zu finden ist einfach, doch irgendwie komme ich mit der Störfunktion nicht klar, bzw. weiß nie welchen Ansatz ich wählen soll.

y'' - y' - 2 y = - 18 \cdot e^{- x} \cdot cos (3 x)

Charakteristisches Polynom usw.:

x^{2} - x - 2 = 0

\Rightarrow λ_{1} = 2

und

λ_{2} = - 1

\Rightarrow y_{h} = c_{1} \cdot e^{2 x} + c_{2} \cdot e^{- x}

Doch wie gehts jetzt mit der partikulären Lösung weiter? Ich muss den Ansatz vom Typ der rechten Seite verwenden.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pleindespoir aktiv_icon

21:05 Uhr, 06.06.2013

Ansatz vom Typ der rechten Seite:

y_{P} = a \cdot e^{b \cdot x} \cdot \cos (3 x)

zwei Mal ableiten - einsetzen auf der linken Seite und Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite

BlargImDed aktiv_icon

21:11 Uhr, 06.06.2013

Danke, aber wie hast du das herausgefunden? Wenn ich mir die typischen Tabellen angucke sehe ich nichts passendes.

http//www.mathematik.uni-dortmund.de/lsix/stiemer/ch08/Uebungen/rechte_seiten.pdf

pleindespoir aktiv_icon

22:17 Uhr, 06.06.2013

Da habe ich nichts rausgefunden, sondern nur hingeschaut, was sich anbieten könnte.

Möglicherweise ist das auch nicht das Ei des Klumpfuss - könnte sein, dass der Ansatz unvollständig ist.

Hast du mal getestet, ob der was taugt ?

lepton

23:03 Uhr, 06.06.2013

Tip: Variation der Konstanten durchführen unter Berücksichtigung der Wronski-Determinante.

Yokozuna aktiv_icon

00:16 Uhr, 07.06.2013

Hallo,

da braucht man eigentlich keine Tabellen zu konsultieren. Die partikuläre Lösung sieht im Allgemeinen so ähnlich aus, wie die Störfunktion. Die Störfunktion ist irgendwas mit

e^{- x} \cdot cos (3 x),

dann ist

y_{p}

auch irgendwas von dieser Art. Der Ansatz von Pleindespoir geht also grundsätzlich schon mal in die richtige Richtung. Wie er aber schon selbst vermutet hat, ist der Ansatz nicht vollständig, denn wenn in der Störfunktion Sinus oder Kosinus vorkommt, muß man in der Regel im Ansatz von

y_{p}

beide Funktionen (Sinus und Kosinus) vorsehen. Ich schlage deshalb als Ansatz vor

y_{p} = e^{- x} \cdot (A \cdot sin (3 x) + B \cdot cos (3 x))

Ich habe den Ansatz ausprobiert und er funktioniert.

Viele Grüße
Yokozuna

BlargImDed aktiv_icon

16:04 Uhr, 07.06.2013

Hallo und danke für die Hilfe soweit. Habe jetzt deinen Ansatz versucht und bin auf keinen grünen Zweig gekommen. Was habe ich falsch gemacht?

http//i.imgur.com/tzVCeLD.jpg

Yokozuna aktiv_icon

16:34 Uhr, 07.06.2013

Wenn Du Deine Rechenversuche geheim hältst, kann ich Dir auch nicht sagen, was Du falsch gemacht hast. Vielleicht hast Du Dich beim Ableiten verrechnet (Kettenregel beachten!), oder Du hast zwar richtig abgeleitet, aber Dich dann nach dem Einsetzen in die Differentialgleichung beim Zusammenfassen der Terme verrechnet. Wenn Du alles richtig gemacht hast, muß am Schluß so etwas dastehen:

e^{- x} \cdot (T_{1} \cdot sin (3 x) + T_{2} \cdot cos (3 x)) = - 18 \cdot e^{- x} \cdot cos (3 x) = e^{- x} \cdot (0 \cdot sin (3 x) - 18 \cdot cos (3 x))

wobei

T_{1}

und

T_{2}

irgendwelche linearen Terme mit A und

B

sind. Durch Koeffizientenvergleich

T_{1} = 0

T_{2} = - 18

bekommt man dann 2 Gleichungen mit den beiden Unbekannten A und

B,

die sich leicht auflösen lassen, da sie linear sind (Zur Kontrolle: es sollte herauskommen

A = 1

und

B = 1)

.

Viele Grüße
Yokozuna

Yokozuna aktiv_icon

16:43 Uhr, 07.06.2013

Sorry, bei meiner vorherigen Antwort habe ich die JPG-Datei nicht gesehen. Du hast Dich ziemlich am Schluß verrechnet:

- 9 \cdot (A + B) = - 18 | : (- 9) \Rightarrow

A + B = 2

(nicht

A - B = 2)

Dann sollte eigentlich das richtige herauskommen.

Viele Grüße
Yokozuna

BlargImDed aktiv_icon

18:06 Uhr, 07.06.2013

Ich habe erst versucht das Bild hier hochzuladen, aber dann wars vermutlich zu groß und ich habs per externen Hoster nachgetragen, vermutlich hast du genau dann geschaut als ichs beheben wollte.

Hätte nicht gedacht dass da noch was Richtiges rauskommt, besten Dank ;-)

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