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Inhomogene Rekursionsgleichung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Inhomogene Differentialgleichungen

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jarsofclay

jarsofclay aktiv_icon

15:12 Uhr, 01.04.2016

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Lösen Sie die inhomogene Rekursionsgleichung

a_{n} = a_{n - 1} + 2^{n}

mit der Randbedingung

a_{0} = 1

Meine Ideen :

Die allgemeine Lösung ist nach

a_{n} = k \cdot 3^{n} + i_{n} (k \in R

beliebig) wobei

i_{n}

eine spezielle Lösung von

i_{n} = 3 i_{n - 1} + 2^{n}

ist.

i_{n} =

cn+d wobei

c, d \in R

zu bestimmen sind.

cn+d=3(c(n-1)+d)+

2^{n}

cn+d=3(cn-c+d)+

2^{n}

cn+d=3cn-3c+3d+

2^{n}

-2cn-2d+3c-

2^{n} = 0

-2cn-

2^{n} + 3 c - 2 d = 0

Diese Beziehung gilt für

n

genau dann :

-2cn-

2^{n} = 0 (i)

und

3 c - 2 d = 0

(ii)

aus (i)

c = \frac{2^{n}}{- 2 n}

aus (ii)

d = \frac{3}{2} c = \frac{3}{2} (\frac{2^{n}}{- 2 n})

i_{n} =

cn+d

= (\frac{2^{n}}{- 2 n}) n + \frac{3}{2} (\frac{2^{n}}{- 2 n})

Die allgemeine Lösung ist nach

a_{n} = k \cdot 3^{n} + i_{n} = k \cdot 3^{n} + (\frac{2^{n}}{- 2 n}) n + \frac{3}{2} (\frac{2^{n}}{- 2 n})

Wenn ich jetzt

n = 0

einsetze um

k

herauszusuchen bekomme ich

\frac{3}{2} (\frac{2^{n}}{- 2 n}) = \frac{3}{2} (\frac{2^{0}}{- 2 \cdot 0}) = \frac{3}{0} =

Error (inf). Ich glaube dran dass ich die Aufgabe nicht richtig kapiert habe. Ich brauche deshalb eure Hilfe. Vielen Dank im voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

Werner-Salomon

Werner-Salomon aktiv_icon

16:22 Uhr, 01.04.2016

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Hallo,

berechne doch mal ein paar Glieder der Folge

a_{n}

.

a_{0}, a_{1}, a_{2}, . . .

= 1, 3, 7, 15, 31, ...
das sieht doch schon sehr stark nach

a_{n} = 2^{n + 1} - 1

aus - oder lautet Deine Gleichung

a_{n} = a_{n - 1} + 3^{n}

?

Dann wäre Dein Ansatz verständlich. Sollte es so sein, nehme doch für

i_{n}

an, dass es sich um eine Konstante handelt. Dann wird's einfach.

Gruß
Werner

Antwort

ledum

ledum aktiv_icon

16:33 Uhr, 01.04.2016

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Wie bist du denn auf deine Lösung der homogenen Gl gekommen, wenn die Gleichung stimmt, dann deine Lösung nicht. denn die homogene Gl

a_{n} = a_{n - 1}

hat nur die Lösung

a_{n} = k = a_{n - 1}

jarsofclay

jarsofclay aktiv_icon

16:35 Uhr, 01.04.2016

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Oh es tut mir leid.. es war einen Schreibfehler von mir. Die Gleichung lautet :

a_{n} = 3 a_{n - 1} + 2^{n}

. Ich habe da 3 vergessen.

Antwort

Bummerang

16:44 Uhr, 01.04.2016

Antworten

Hallo,

dann sollte am Ende

3^{n + 1} - 2^{n + 1}

rauskommen.

jarsofclay

jarsofclay aktiv_icon

16:58 Uhr, 01.04.2016

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Gemäß theorie zur lin. Gleichung ist

a_{n} = c \cdot 3^{n} + d \cdot 2^{n}

,wobei

erste Summand ergibt allg. Lösung zur homogenene Gleichung und zweite Lösungssatz für eine spezielle Lösung , wenn wir es einsetzen :

c \cdot 3^{n} + d \cdot 2^{n} = 3 (c \cdot 3^{n - 1} + d \cdot 2^{n - 1}) + 2^{n}

2 d = 3 d + 2

d = - 2

a_{n} = c \cdot 3^{n} - 2^{n + 1}

Wir setzen jetzt

n = 0

ein

a_{0} = c \cdot 3^{0} - 2^{0 + 1}

1 = c - 2

c = 3

jetzt allg. Lösung..

a_{n} = 3 \cdot 3^{n} - 2^{n} + 1 = 3^{n + 1} - 2^{n + 1} . .

. Vielen Dank erstmal Bummerang. Kannst du bitte einmal meine Schritte überprüfen ob da alles richtig ist .

Antwort

Bummerang

17:02 Uhr, 01.04.2016

Antworten

Hallo,

ich habe keinen Fehler gefunden und die Lösung sollte stimmen, jedenfalls bis

n = 5

konnte ich das noch ohne TR überprüfen...

Frage beantwortet

jarsofclay

jarsofclay aktiv_icon

17:04 Uhr, 01.04.2016

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Das ist aber sehr nett . Vielen Vielen Dank :-)

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