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Inhomogene nichtlineare DGL 1´ter Ordnung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

NEPH1L1M aktiv_icon

10:10 Uhr, 27.09.2011

Hallo,

ich habe eine Frage zur Lösung der nachfolgenden DGL 1´ter Ordnung:

y´=

y^{2} + 3 x \Rightarrow

y´

- y^{2} = 3 x

Die homogene Lösung hätte ich wie folgt bestimmt:
y´-

y^{2} = 0

\Rightarrow \frac{d y}{d x} - y^{2} = 0

\Rightarrow \frac{d y}{y^{2}} = d x

\Rightarrow \int \frac{1}{y^{2}} d y = \int d x

\Rightarrow - \frac{1}{y} = (x + c)

Homogene Lösung:

\Rightarrow y_{h} = \frac{1}{- x - c}

oder muss ich substituieren

u = y \cdot y

für

y^{2}

\Rightarrow

u´= y´

\cdot y + y \cdot

y´=

2 \cdot

y´

\cdot y

usw.

Als Ansatz für die partikuläre Lösung hätte ich

A x + B

genommen.

\Rightarrow y_{p} = A x + B

\Rightarrow y_{p}

= A

was in y´

- y^{2} = 3 x

eingesetzt

A - {(A x + B)}^{2} = 3 x

\Rightarrow A - (A^{2} x^{2} + 2 A B x + B^{2}) = 3 x

\Rightarrow A - A^{2} x^{2} - 2 A B x - B^{2} = 3 x

liefert.

Beim Koeffizientenvergleich scheitert´s dann

: - (,

soll heißen
es kommt nix g´scheites dabei raus!

Danke im voraus für einen wegweisenden Tipp!

L . G

. NEPHI

CKims aktiv_icon

11:05 Uhr, 27.09.2011

aufgabe falsch abgeschrieben? koennte sie vielleicht so heissen?

y' = y^{(2)} + 3 x

oder gibt es noch ein paar zusatzinfos in der aufgabenstellung, die die loesung noch etwas einschraenken?

denn wenn nicht ist die aufgabe ziiieeemlich heftig... und wuerde deshalb normalerweise numerisch geloest werden...

lg

NEPH1L1M aktiv_icon

11:10 Uhr, 27.09.2011

Hallo MokLok,

danke für deine Mithilfe!

Nein, die Aufgabe ist korrekt.(Bis auf die Anfangsbedingung, die ich nicht gepostet habe).

Nunja, die Aufgabe soll mit dem Runge-Kutta-Verfahren gelöst werden, aber ich kann die Ergebnisse ja nur kontrollieren wenn ich die exakte Lösung habe, aber wie du schon geschrieben hast ist die Lösung heftig.

Zwischenfrage:
Stimmt meine homogene Lösung wenigstens ?

L . G

. NEPHI

CKims aktiv_icon

11:22 Uhr, 27.09.2011

homogene ist soweit korrekt...

also... numerisch

; D

man braeuchte ja kein runge kutta verfahren, wenn man alle aufgaben sowieso analytisch (also exakt) berechnen koennte. eine exakte loesung wirst du also nicht finden... um zu ueberpruefen ob deine bemuehungen mit dem runge kutta richtig sind, muesstest du das im experiment erproben... oder du setzt ein paar ergebnisse in die dgl ein und guckst ob die gleichung zumindest annaehernd erfuellt ist... oder du uebst das verfahren erstmal an einer aufgabe, die wirklich auch analytisch geloest werden kann...

lg

NEPH1L1M aktiv_icon

12:01 Uhr, 27.09.2011

Ok, das war nicht richtig formuliert mit "exakt" in Bezug auf das RUNGE-KUTTA-Verfahren :-), wobei das

R . K . V

. sehr genau ist!

Ich entnehme also, dass ich die Ergebnisse der

R . K . V

. mittels einsetzen prüfen sollte.

Aber jetzt mal zur wirklich exakten Lösung, wie geht man hier eigentlich vor?

Ich habe es mal im WOLFRAM eingegeben

- \to

°_° - komme damit nicht klar.

Ist das eine Ricatti-DGL ?

L . G

. NEPHI

NEPH1L1M aktiv_icon

11:19 Uhr, 28.09.2011

Die RICATTI-DGL hat ja die Form:

y

+ g (x) \cdot y + h (x) \cdot y^{2} = k (x)

wenn

g (x) = 0

sieht die DGL ja so aus

y

+ h (x) \cdot y^{2} = k (x)

und das wiederum sieht der DGL

y

- 1 \cdot y^{2} = 3 x

serh ähnlich ?

Oder liege ich hier falsch ?

L . G

. NEPHI

CKims aktiv_icon

12:51 Uhr, 28.09.2011

ist eine ricatti dgl...

um das zu loesen, musst du eine spezielle loesung raten... dann kannst du das auf eine bernoulli dgl fuehren und loesen... problem: kann noch nicht mal eine spezielle loesung erraten.

oder

man kann eine ricatti dgl auf eine lineare dgl 2 ordnung umformen... und dann versuchen das lineare ding zu loesen... problem: die dabei entstehende lineare dgl ist auch so eklig, dass man schwierigkeiten hat das zu loesen.

also wie schon mehrmals gesagt... man muss das numerisch loesen, weil man das analytisch nicht hinbekommt!! dazu sind die numerischen verfahren ja auch da!!! die kommen immer zum einsatz, wenn mensch noch zu doof ist, dinge analytisch zu loesen.

lg

NEPH1L1M aktiv_icon

13:21 Uhr, 28.09.2011

:-D) danke für die guten(ironischen) Hinweise !

L . G

. NEPHI

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