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Inklusion-Exklusion-Prinzip

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: fixpunktfreie Permutationen, Inklusion-Exklusion, Subfakultät, Verteilungsfunktion

 
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Fenja0216

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17:12 Uhr, 09.11.2016

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Hallo Zusammen,

ich hänge an folgender Aufgabe:

Es gibt einen Tanzabend mit 6 Ehepaaren. Die Paare werden zufällig ausgewählt (jede Möglichkeit hat die gleiche Wahrscheinlichkeit). Was ist die Wahrscheinlichkeit das keine der Frauen mit ihrem Gatten gepaart wird?

Ich habe über diese Aufgabe wirklich lange nachgegrübelt, komme aber einfacht nicht weiter und würde mich über einige Hilfestellungen freuen.

Grundlegend haben wir es hier mit einem Experiment zu tun "ohne zurücklegen, aber mit Beachtung der Reihenfolge". Mein gesamtes Ω wäre hier (n=6)6! und k sind alle möglichen Kombinationen von [n].
Die Anzahl der Möglichkeiten ist bei der Aufgabe ja nicht so leicht abzuzählen. Also für die 1. Frau gibt es (n-1) Männer als Tanzpartner und die 2. Frau hat dann noch (n-2) Tanzpartner zur Auswahl. Weil jetzt aber die 1. Frau nun zum Beispiel auch den Mann von der 2. Frau wählen kann, hat die 2. Frau immer noch (n-1) Möglichkeiten. (Ich hoffe ihr versteht, was ich sagen will...)

Aus der Vorlesung weiß ich, dass wir die Formel vom Inklusions- und Exklusionsprinzip wählen können/sollen. Dieses Prinzip zeigt mir ja die Kardinalität einer Menge M durch die Kardinalität ihrer Teilmengen an. Außerdem spielen in dieser Aufgabe die fixpunktfreien Permutationen eine Rolle. Denn da die Ehefrauen nicht mit den jeweiligen Ehemännern tanzen dürfen, behält kein Element seine Ausgangsposition bei. Die Anzahl der möglichen fixpunktfreien Permutationen wird über die Subfakultät bestimmt.

So viel zu dem was ich hier brauche bzw. anwenden muss. Ich hab die Werte jetzt einfach die Formel eingesetzt:

P(n,k)=(nk)(N-k)!n!∑i=0n-k(-1)i1i!

Wenn ich nun n=6 und k=0 wähle, erhalte ich den Grenzwert ≅0,36805.

Damit hab ich aber bisher noch nicht wirklich die Aufgabe erklärt. Kann mir jemand sagen für was genau die einzelnen Komponenten in meiner Formel stehen? Vielleicht seh ich dann besser durch...

Vielen Dank schon mal :-)

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