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Inkugel einer Pyramide
Sonstiges
Tags: Ebene, Inkugel, Pyramide, Winkelhalbierende
 
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Hallo! Ich habe folgendes mathematisches Problem und brauche schnell Hilfe - wär schön! Ich knoble an dieser Aufgabe schon so lange ... :-( Gegeben: Ebene E: 6x + 6y - 3z = -36. E und die drei Koordinatenebenen bilden eine dreiseitige Pyramide. Gesucht: Gleichung für eine Kugel, die alle Seitenflächen der Pyramide berührt. Meine Idee: Schnitt der winkelhalbierenden Ebenen, aber leider weiß ich nicht, wie man die winkelhalbierenden Ebenen ermittelt. Kann mir jemand helfen? Grüße Philippina .. :-)  |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Pyramide (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Abstand Punkt Ebene Ebenen in Normalenform Ebenen in Parameterform Lagebeziehung Ebene - Ebene Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) Abstand Punkt Ebene Ebenen in Normalenform Ebenen in Parameterform Lagebeziehung Ebene - Ebene Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) | |
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anonymous 02:37 Uhr, 26.08.2007 |
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Hi, das Problem ist IMHO, dass nur eine Ebene gegeben ist. Dadurch ist noch keine dreiseitige Pyramide festgelegt. Viele Grüße Edit: Ach nein Blödsinn die drei Koordinatenebenen hab ich nicht gelesen. |
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Hallo, ich empfehle zunächst mal eine Skizze zu machen, damit man die Lage der Pyramide erkennt! Ich habe dazu die Schnittgeraden der gegebenen Ebene mit den Ebenen der Koordinatenachsen ermittelt. Die resultierenden Geraden kann man leicht einzeichnen und man sieht die Eckpunkte der Pyramide: (0;0;0) , (0;-6;0) , (-6;0;0) und (0;0;12). Ich betrachte zunächst mal die Ecke im Koordinatenursprung. Ich kann mich drehen und wenden wie ich will, egal wie groß die Kugel ist, die ich dort in die Ecke schiebe, so daß sie alle drei angrenzenden Flächen berührt, der Kugelmittelpunkt liegt immer auf der Geraden durch den Ursprung (0;0;0) und durch den Punkt (-1;-1;1). Führe ich für die Koordinaten des Kugelmittelpunktes den Parameter t ein (t>0 !!!), dann sind die Koordinaten des Kugelmittelpunktes: (-t;-t;t) Der Abstand dieses Punktes von jeder der 3 Ebenen, die durch die Koordinatenachsen gegeben sind beträgt t und ist der Radius der Kugel. Jetzt müssen wir t "nur noch" so bestimmen, daß die Kugel die gegebene Ebene berührt. Jetzt machen wir mal eine andere Skizze, einen Schnitt durch die Pyramide. Die Schnittebene ist gegeben durch den Koordinatenursprung, den Punkt (0;0;12) und den Kreismittelpunkt (-t;-t;t). In dieser Schnittebene liegt auch der Punkt (-1;-1;1), da (-t;-t;t) auf der Geraden durch den Koordinatenursprung und eben diesem Punkt liegt. Die Schnittebene ist also eindeutig definiert. Was sehen wir in diesem Schnitt? Die z-Achse als Senkrechte Gerade (mit den Punkten (0;0;0) und (0;0;12)!). Im Koordinatenursprung verläuft als waagerechte Gerade die x-y-Ebene. Und vom Punkt (0;0;12) geht nach links unten eine Gerade, die die x-y-Ebene in einem Punkt schneidet. Diese Gerade ist im Schnitt genau eine Seiten- und Winkelhalbierende der Pyramidenseite, die in der gegebenen Ebene liegt. Der gesuchte Berührpunkt der gesuchten Kugel liegt also auch in dieser Ebene! Nachdem wir die Pyramide in Dreiecksform gebracht haben, zeichnen wir uns noch ein paar Hilfslinien ein: 1. Die Winkelhalbierende von rechten Winkel; auf dieser Geraden liegt unser gesuchter Kreismittelpunkt 2. Einen beliebigen Punkt P(t) auf dieser Hilfsgeraden. 3. Wir fällen das Lot von diesem Punkt auf die x-y-Ebene und wir wissen, daß dieses t lang ist! 4. Wir fällen das Lot von P(t) auf die Gerade, die die Ebene charakterisiert und wir wissen, daß auch dieses Lot t lang sein muß! (wird es in der Skizze nicht sein, aber ist auch nicht wichtig, denn es ist ja das Ziel unserer Berechnungen) Was kann man dieser Skizze entnehmen? Ich lege ein beliebiges t fest und gehe dann vom Punkt (-t;-t;t) noch t-weit in Richtung der Ebene. Aber wie bestimme ich die Richtung? Na klar: Die Richtung wird durch den auf Länge 1 normierte Normalenvektor der gegebenen Ebene bestimmt! Einen Normalenvektor der Ebene kann man aus der Ebenengleichung ablesen: (6;6;-3) Normiert auf 1 ergeben sich 2 durch die Richtung verschiedene Vektoren: +-1/9*(6;6;-3) = +-(2/3;2/3;-1/3) Schauen wir uns die Skizze noch mal an! Von P(t) ausgehend wird x und y negativer und z positiver, also ist der gesuchte Normalenvektor: (-2/3;-2/3;1/3) Jetzt wissen wir, daß (-t;-t;t) + t*(-2/3;-2/3;1/3) der Punkt der gegebenen Ebene ist, an dem die Kugel die Ebene berührt, d.h. dieser Punkt erfüllt die Ebenengleichung: 6*(-t-2/3*t) + 6*(-t-2/3*t) - 3*(t+1/3*t) = -36 6*(-5/3*t) + 6*(-5/3*t) - 3*(4/3*t) = -36 -10*t - 10*t - 4*t = -36 -24*t = -36 t = 3/2 Damit ergeben sich: Kugelmittelpunkt: (-3/2;-3/2;3/2) Kugelradius: 3/2 Kugelgleichung: (x-(-3/2))^2 + (y-(-3/2))^2 + (z-3/2)^2 = (3/2)^2 (x+3/2)^2 + (y+3/2)^2 + (z-3/2)^2 = 9/4 |
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Hallo! Oh super und viele, vielen Dank. Du hast mir sehr geholfen! :-) Liebe Grüße ... |
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