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Inkugel einer dreiseitigen Pyramide

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Analysis, Analytische Geometrie, Geometrie, Inkugel, Pyramide

anonymous

13:00 Uhr, 14.06.2023

Ich suche nach einer Methode, die Inkugel einer dreiseitigen Pyramide zu berechnen. Eine Inkugel ist eine Kugel welche jede der flächen eines Körpers an einem punkt berührt.

Gegebene maßen wären:

A = (0, 0, 0)

B = (5, 0, 0)

C = (0, 8, 0)

D = (0, 0, 10)

Online finde ich kaum Wege oder hinweise für ungleichmäßige Pyramiden oder nur vierseitige Pyramiden. Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

Roman-22

14:04 Uhr, 14.06.2023

Du könntest zB drei Flächensymmetralebenen (welch nicht alle den gleichen Eckpunkt enthalten) zum Schnitt bringen, um den Mittelpunkt der Kugel zu erhalten. Der Radius ergibt sich dann im Normalabstand dieses Mittelpunkts zu einer der vier Seitenflächen.

Alternativ könntest du ein Gleichungssystem mit vier Unbekannten (Mittelpunktskoordinaten und Radius) aufstellen, indem du viermal den Normalabstand des Mittelpunkts mit je einer Seitenebene gleich dem Radius setzt.
Die Aufgabe hat mehrere Lösungen, da es ja auch Kugel gibt, die die Seitenflächen von außen berühren. Du musst dann eben jene auswählen, bei der der Mittelpunkt innerhalb der Pyramide liegt.

Mathe45

14:10 Uhr, 14.06.2023

Wegen der besonderen Lage der Eckpunkte und der Seitenfläche läßt sich der Inkugelmittelpunkt und -radius leicht bestimmen.

Projiziere die Kugel auf die xy-Ebene

\to

Inkreis des rechtwinkeligen Dreiecks mit den Katheten 5 und

8 \Rightarrow ρ = \frac{5 \cdot 8}{5 + 8 + \sqrt{25 + 64}} \approx 1,78

\Rightarrow M (1,78 | 1,78 | 1,78)

mit Radius

1,78

anonymous

14:31 Uhr, 14.06.2023

Sicher das

1.78

stimmt? Wenn ich die werte bei Geogebra einsetze schneidet diese die DBC Ebene. Siehe die angehängten Bilder.

Mathe45

14:39 Uhr, 14.06.2023

Ja, es stimmt, dass ich nicht recht hatte.
Ignoriere die obige Rechnung !
( Man sollte nicht zu hektisch denken. )

Roman-22

15:02 Uhr, 14.06.2023

Dennoch sollte aufgrund der sehr speziellen Angabe klar sein, dass alle drei Koordinaten des Kugelmittelpunkts gleich dem Radius sind.
Das reduziert die Aufgabe von vier auf eine Unbekannte und vereinfacht die Berechnung (nach welcher Methode auch immer) doch signifikant.
Es geht nur mehr darum, einen Punkt

M (r / r / r)

innerhalb der Pyramide zu finden, welcher von der Ebene BDC den Normalabstand

r

hat.
Zu deiner Kontrolle:

r = \frac{5}{23} \cdot (17 - \sqrt{105}) \approx 1,468

Eine ähnliche Aufgabenstellung mit analoger spezieller Aufstellung hatten wir schon mal hier:
www.onlinemathe.de/forum/Inkugel-einer-Pyramide

HAL9000

16:03 Uhr, 14.06.2023

> Hierzu passend bei OnlineMathe:
> [...]
> Volumen und Oberfläche einer Pyramide

Wie wahr: Man kann nämlich auch

V = \frac{1}{3} A_{O} \cdot ρ

nutzen, mit Volumen

V

sowie Oberflächeninhalt

A_{O}

der dreiseitigen Pyramide.

Mit

A_{O} = \frac{1}{2} \cdot ∣ (- 5, 8, 0) \times (- 5, 0, 10) ∣ + 20 + 25 + 40 = 5 \sqrt{105} + 85

sowie

V = \frac{200}{3}

kommt man damit auf diesem Alternativweg zu

ρ = \frac{3 V}{A_{O}} = \frac{40}{17 + \sqrt{105}} = \frac{5}{23} (17 - \sqrt{105})

, stimmt also mit Romans Ergebnis überein.

Die Formel

V = \frac{1}{3} A_{O} \cdot ρ

gilt übrigens für jedes konvexe Polyeder, welches überhaupt eine Inkugel besitzt, d.h. eine Kugel im Inneren, die ALLE (!) Seitenflächen des Polyeders berührt - das ist offenbar nicht für alle konvexen Polyeder der Fall.

Randolph Esser aktiv_icon

03:10 Uhr, 16.06.2023

Die Formel

V = \frac{1}{3} A_{O} r

mit dem Radius

r

des Innkreises
ist haptisch sehr zugänglich,
wenn man sich die Pyramide aus den vier Pyramiden,
die aus ihren Seiten und dem Mittelpunkt ihres Inkreises erwachsen,
zusammengesetzt vorstellt und dann noch an die effe Volumenformel

V = \frac{1}{3} A h

für Pyramiden denkt.

Ich möchte das Verfahren nochmal allgemein formulieren
(der Fragensteller war ja an einem allgemeinen Verfahren interessiert):

Für eine Dreieckspyramide

A, B, C, D \in R^{3}

bestimme

c \in R,

sodass

A + a (B - A) + b (C - A) + c ((B - A) \times (C - A)) = D

mit

a, b \in R

.

Berechne dann

V = \frac{c}{6} {| (B - A) \times (C - A) |}^{2}

und

A_{O} = \frac{| (B - A) \times (C - A) | + | (B - A) \times (D - A) | + | (C - A) \times (D - A) | + | (C - B) \times (D - B) |}{2}

und damit dann

r = \frac{3 V}{A_{0}}

.

Anwendung hier:

a (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + b (\begin{matrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}) + c (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 40 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}) \Rightarrow a = b = 0, c = \frac{1}{4},

V = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} \cdot 40^{2} = \frac{200}{3},

A_{0} = \frac{40 + 50 + 80 + 10 \sqrt{105}}{2},

r = \frac{40}{17 + \sqrt{105}}

.

Anbei noch ein Zusammenschnitt des Threads.

anonymous

11:36 Uhr, 19.06.2023

Vielen Dank an alle die mir hier geholfen haben, es hat mir sehr weitergeholfen.

PS: Ich habe eben gerade eine neue Frage zu der selben Pyramide gestellt, es geht um die Umkugel. Wenn mir jemand helfen möchte bin ich dafür sehr dankbar.

Noch einmal vielen Dank.

anonymous

11:36 Uhr, 19.06.2023

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