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Innere abgeschlossener Ball = offener Ball - Norm

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie

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09:42 Uhr, 02.03.2019

Hallo zusammen,

ich brüte mal wieder über einer Aufgabe:

Gegeben ist ein normierter Raum

(V, | | . | |), x \in X, r > 0

. Es ist zu zeigen:

a)

Der abgeschlossene Ball (bezeichnet mit Kr(x)) ist gleich der Abschluss des offenen Balls (bezeichnet mit Br(x). (Sorry, ich kriege irgendwie keine Tiefstellung bei den Bezeichnungen hin...)

b)

Das Innere des abgeschlossenen Balls ist der offene Ball.

c)

der Rand von offenem und abgeschlossenem Ball ist

{y \in V : | | y - x | | = r}

.

Teil

a)

wird ja (teilweise) über eine konvergente Folge im offenen Ball, die einen Grenzwert im Abschluss vom offenen Ball hat, bewiesen. Der ganze Beweis ist hier schön beschrieben:
de.wikibooks.org/wiki/Aufgabensammlung_Mathematik:_Zusammenhang_zwischen_dem_abgeschlossenen_Ball_und_dem_Abschluss_des_offenen_Balls

Teil

b)

bereitet mir Probleme. Ich habe zunächst versucht, einen beliebigen Punkt

y

im Inneren von Kr(x) zu wählen und einen Punkt

z

in Kr(x)\Br(x) und dann versucht, zu zeigen, dass der Abstand von

y

kleiner ist als

r

. Aber das kommt mir falsch vor.
Dann habe ich überlegt, ob ich hierfür Teil

a)

ausnutzen kann. Ich weiß ja, dass der offene Ball offen ist,

d . h

. ich kann ja eigentlich jetzt schon sagen, dass das Innere des offenen Balls der offene Ball ist und der Rand des offenen Balls dann

{y \in V : | | y - x | | = r}

ist. Damit ist im Abschluss des offenen Balls ja der offene Ball die größte offene Menge. Weil der Abschluss des offenen Balls und der abgeschlossene Ball nach Teil

a)

gleich sind, muss die größte offene Menge im abgeschlossenen Ball ja auch der offene Ball sein. Daraus folgt dann die Behauptung in Teil

b) . .

. aber das erscheint mir so einfach... macht das auch keinen Sinn?

Teil

c)

kann man einfach aus

a)

und

b)

über die Definition des Randes als Abschluss\Inneres herleiten.

Zum Schluss soll das Ganze mit der Situation in einem metrischen Raum verglichen werden. In einem metrischen Raum gilt ja nur, dass der Abschluss vom offenen Ball eine echte Teilmenge vom abgeschlossenen Ball ist. Jetzt habe ich versucht, die entscheidenden Punkte in der Beweisführung zu finden, an denen die Norm etwas macht, was eine Metrik nicht kann. Ich glaube, der Hund muss in Teil

a)

und der Folge begraben liegen, wenn meine weiteren Überlegungen so richtig sind... Allerdings bezog sich in der Vorlesung das Lemma "A - Menge in einem metrischen Raum. Jede konvergente Folge in A hat einen Grenzwert im Abschluss von A", nur auf einen metrischen Raum. Ich weiß auch, dass ich aus einer Norm immer eine Metrik herleiten kann. Leider ist in unserer letzten Übungsgruppe nur sehr kurz und knapp gesagt worden, was der Unterschied zwischen einer Metrik in einem normierten Raum und einer Metrik in einem nicht-normierten Raum ist... Für die Norm brauche ich natürlich einen Vektorraum als Voraussetzung,

d . h

. dadurch sind mir bestimmte Rechenregeln vorgegeben, die ich in einem metrischen Raum, wo ich nur eine x-beliebige Zahlenmenge habe, eventuell nicht anwenden kann. Ist das so richtig? Genauso gibt mir die Norm an sich ja weitere "Rechenregeln" vor

(z . B

. Skalar rausziehen). Wenn ja, muss ich ja nur nach Vektoraddition und Skalarmultiplikation (und ggf. weitere Kriterien wie abelsche Gruppe bezügliche Vektoraddition, Distributivität, Skalar rausziehen etc.) im Beweis suchen. Das wäre ja so ziemlich die ganze Abstands- und Grenzwertberechnung in obigem Link, oder? Ich glaube, die Aufgabe verlangt nicht mal eine so derart detaillierte Antwort, aber ich würde es gern richtig verstehen...

Vielen Dank und viele Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

11:45 Uhr, 02.03.2019

Hallo,

im Vektorraum brauchst Du Dich nur um Kugeln um den Nullpunkt kümmern - der Rest folgt einfach durch Verschiebung.

Du willst zeigen, dass das Innere von

K_{r}

(abgeschlossene Kugel um

0)

gleich

B_{r}

(offene Kugel um

0)

ist. Sei also

z

im Inneren von

K_{r},

also gilt

| | z | | \leq r

. Wir wollen ausschließen, dass

| | z | | = r

ist.

Annahme

| | z | | = r

Weil

z

im Inneren von

K_{r}

liegt, ex

ε > 0

mit

K_{ε} (z) \subseteq K_{r}

. Jetzt schau Dir mal die Punkte

s \cdot z

an mit reellen Zahlen

s,

die etwas grüße als 1 sind

. .

.
(Hier kommt eine Eigenschaft eines normierten Raums ins Spiel)

Gruß pwm

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13:09 Uhr, 02.03.2019

Vielen Dank für die Antwort :-)!

Ich habe jetzt versucht, mir das zu überlegen. Also:

Sei

z

im Inneren von Kr(0), dh.

| | z | |

kleiner-gleich

r

. Wenn ich jetzt

z

strecke mit

s,

wobei

s > 1, s \in K

(Körper) ist, dann ist ja

| | z | | < | | s \cdot z | |

.

Fall 1: Für

r = | | z | |

ergibt sich:

| | s \cdot z | | = | s | \cdot | | z | | = | s | \cdot r > r

.
Folglich liegt

s \cdot z

nicht mehr in Kr(0). Also gibt es in der Umgebung von

z

mit

| | z | | = r

sowohl Vektoren, die innerhalb von Kr(0) liegen, als auch Vektoren, die außerhalb von Kr(0) liegen. Im Fall

| | z | | = r

kann ich also

s

so nah wie im Körper möglich an 1 wählen, aber solang es immer noch ein bisschen größer ist als

1,

liegt

s \cdot z

außerhalb von Kr(0). Somit ist kein

z

mit

| | z | | = r

offen in Kr(0).

Fall 2: Für

| | z | | < r

ergibt sich:
Man kann für jedes

z

auch ein

s

finden, sodass

s \cdot z

außerhalb von Kr(0) liegt. Aber man kann auch

s

finden, sodass

s \cdot z

noch innerhalb von Kr(0) liegt (Man geht einfach so nah wie nötig an 1 heran). Das bedeutet ja nach der Definition, dass Br(z) offen ist in Kr(0). Da die Vereinigung von offenen Mengen wieder offen ist, ist also die Menge

{z \in V : | | z - 0 | | < r}

offen in Kr(0).

Zusammengenommen ist

{z \in V : | | z - 0 | | < r}

die größte offene Menge in Kr(0) und damit das Innere von Kr(0). Außerdem entspricht diese Menge genau Br(0).

Alternativ könnte man vielleicht schlussfolgern:

Fall 1: Sei Epsilon

> 0,

und

E

die Epsilon-Umgebung von

z

. Dann liegen für alle Epsilon sowohl

y

in Kr(0) und

y

im Komplement von Kr(0) in der Epsion-Umgebung

E

von

z

. Dies gilt aber nicht für Fall

2,

weil ich hier eben auch Epsilon finden kann, sodass die Epsilon-Umgebung

E

ganz in Kr(0) liegt. Damit ist eine mögliche Definition des Randes nur für

z

mit

| | z | | = r

erfüllt, dh. diese

z

bilden den Rand von Kr(0). Weil aber für den Rand auch gilt: Rand = Abschluss\Inneres und ich weiß, dass Kr(0) abgeschlossen ist, kann ich jetzt folgern, dass das Innere von Kr(0)

= {y \in V : | | y - 0 | | < r}

ist, was genau dem offenen Ball entspricht.

Und ganz zum Schluss, weil das ja alles nur für Kr(0) bewiesen ist, muss ich noch sagen, dass ich durch Verschieben (Vektorraum) auch für beliebige

x \in V

gilt. Aber eigentlich könnte ich es ja gleich für

x

allgemein beweisen, oder? Muss ja nur die 0 durch

x

ersetzen und dann bei den

| | z | | = | | z - 0 | | = | | z - x | |

aufpassen. Mal probieren...

Stimmt das jetzt so? Trotzdem schon mal vielen Dank :-)!

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12:07 Uhr, 18.03.2019

Danke für die Hilfe!

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