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Inneres Produkt

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: Skalarprodukt

17Student20 aktiv_icon

23:46 Uhr, 04.03.2013

Gute Abend zusammen. Ich habe ein wenig Probleme mit dem inneren Produkt.

i)

Welche Eigenschaften muss eine Abbildung

< \cdot, \cdot > : ℝ^{2} x ℝ^{2} \to ℝ

erfüllen, damit sie ein inneres Produkt des

ℝ^{2}

ist?

i i)

Zeigen Sie, dass die folgende Abbildung ein inneres Produkt des

ℝ^{2}

ist

< \cdot, \cdot > (

hier zwischen ist, noch ein Rautezeichen bzw. Ungleichzeichen keine Ahnung wieso)

: ℝ^{2} x ℝ^{2} \to ℝ

also

< \cdot, \cdot >

: ℝ^{2} x ℝ^{2} \to ℝ

(x, y) \mapsto x_{1} (y_{1} + y_{2}) + x_{2} (y_{1} + 3 y_{2})

i)

Es muss doch 3 Sachen erfüllen:
erstens es muss symmetrisch sein

d . h

a \cdot b = b \cdot a

zweitens es muss assoziativ sein

d . h

(r a) \cdot b = r (a \cdot b)

drittens es muss distributiv sein

d . h

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

bei

i i)

muss man ja die Gesetze anwenden aber stimmen die denn überhaupt ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

OmegaPirat

00:56 Uhr, 05.03.2013

Hallo

Wie du schon sagtest, ist das Skalarprodukt symmetrisch.
Die Assoziativität und die Distributivität würde ich unter den Begriff bilinear zusammenfassen.

Außerdem ist das Skalarprodukt zusätzlich noch positiv semidefinit,

d . h

. für jedes

x \in ℝ^{2}

ist

x \cdot x \geq 0

Also nochmal zusammenfassend.
Ein Skalarprodukt auf dem

ℝ^{2}

ist

1 .)

symmetrisch

2 .)

bilinear

3 .)

positiv semidefinit

Diese drei Eigenschaften musst du nun für die Abbildung in der zweiten Aufgabe nachweisen.

17Student20 aktiv_icon

14:29 Uhr, 05.03.2013

Okay. Danke sehr.

< \cdot, \cdot >

: ℝ^{2} x ℝ^{2} \to ℝ

(x, y) \mapsto x_{1} (y_{1} + y_{2}) + x_{2} (y_{1} + 3 y_{2})

1)

symmetrisch

< x, y > = < y, x >

2)

bilinear

< x + y, z > = < x, z > + < y, z >

< x, y + z > = < x, y > + < x, z >

< x, λ y > = λ < x, y > = < λ x, y >

3)

positiv definit

< x, x > \geq 0,

und

< x, x > = 0

genau dann, wenn

x = 0

Also erstmal zu

1)

< x, y > = < y, x >

x_{1} (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) + x_{2} (\begin{matrix} y_{1} \\ 3 y_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} y_{1} \\ x_{1} y_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} x_{2} y_{1} \\ x_{2} 3 y_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{2} y_{1} \\ x_{2} 3 y_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} x_{1} y_{1} \\ x_{1} y_{2} \end{matrix}) = x_{2} (\begin{matrix} y_{1} \\ 3 y_{2} \end{matrix}) + x_{1} (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \end{matrix})

Müsste stimmen, oder ?

bei

2)

weiß ich nicht ganz genau wie ich es machen soll

genauso bei

3)

weiß ich auch nicht wie man das zeigen soll

Recht herzliches Dankeschön.

17Student20 aktiv_icon

13:40 Uhr, 06.03.2013

2)

bilinear

< x + y, z > = < x, z > + < y, z >

< x, y + z > = < x, y > + < x, z >

< x, λ y > = λ < x, y > = < λ x, y >

Da weiß ich einfach nicht wie ich das machen soll, weil ich nicht weiß wie ich unsere gegebene Abbildung darauf anwenden soll.

Yokozuna aktiv_icon

09:50 Uhr, 07.03.2013

Hallo,

das muß man halt einfach mit der gegebenen Abbildung nachrechnen. Ich bleibe mal beim Punkt Symmetrie. Es ist

< x, y > = x_{1} \cdot (y_{1} + y_{2}) + x_{2} \cdot (y_{1} + 3 \cdot y_{2})

Demzufolge wäre dann

< y, x > = y_{1} \cdot (x_{1} + x_{2}) + y_{2} \cdot (x_{1} + 3 \cdot x_{2})

Jetzt muß man zeigen, daß die beiden Ausdrücke tatsächlich gleich sind:

< x, y > = x_{1} \cdot (y_{1} + y_{2}) + x_{2} \cdot (y_{1} + 3 \cdot y_{2}) = x_{1} \cdot y_{1} + x_{1} \cdot y_{2} + x_{2} \cdot y_{1} + 3 \cdot x_{2} \cdot y_{2} =

x_{1} \cdot y_{1} + x_{2} \cdot y_{1} + x_{1} \cdot y_{2} + 3 \cdot x_{2} \cdot y_{2} = y_{1} \cdot (x_{1} + x_{2}) + y_{2} \cdot (x_{1} + 3 \cdot x_{2}) = < y, x >

Analog macht man

z . B

< x, λ y > = λ \cdot < x, y > :

< x, λ y > = x_{1} \cdot (λ \cdot y_{1} + λ \cdot y_{2}) + x_{2} \cdot (λ \cdot y_{1} + 3 \cdot λ \cdot y_{2}) =

λ \cdot x_{1} \cdot (y_{1} + y_{2}) + λ \cdot x_{2} \cdot (y_{1} + 3 \cdot y_{2}) = λ \cdot [x_{1} \cdot (y_{1} + y_{2}) + x_{2} \cdot (y_{1} + 3 \cdot y_{2})] = λ \cdot < x, y >

usw.

Viele Grüße
Yokozuna

17Student20 aktiv_icon

10:22 Uhr, 08.03.2013

Ist meins denn falsch, nein ? Ja das Problem ist bei der Bilinearität. Da weiß ich einfach nicht wie ich das anwenden soll.

Yokozuna aktiv_icon

15:54 Uhr, 08.03.2013

Hallo,

was soll den bei Deinem "Beweis" zur Symmetrie bitte

x_{1} \cdot (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) + x_{2} \cdot (\begin{matrix} y_{1} \\ 3 y_{2} \end{matrix})

sein?
Das Skalarprodukt ist doch definiert als

< x, y > = x_{1} \cdot (y_{1} + y_{2}) + x_{2} \cdot (y_{1} + 3 y_{2})

Da kommen doch auf der rechten Seite keine Vektoren vor, nur Vektorkomponenten.

y_{1} + y_{2}

ist doch etwas anderes als

(\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \end{matrix})

.
Und mit dieser Definition mußt Du einfach stur die zu erfüllenden Bedingungen nachrechnen,

z . B

< x + y, z > = (x_{1} + y_{1}) \cdot (z_{1} + z_{2}) + (x_{2} + y_{2}) \cdot (z_{1} + 3 z_{2}) =

x_{1} \cdot (z_{1} + z_{2}) + y_{1} \cdot (z_{1} + z_{2}) + x_{2} \cdot (z_{1} + 3 z_{2}) + y_{2} \cdot (z_{1} + 3 z_{2}) =

[x_{1} \cdot (z_{1} + z_{2}) + x_{2} \cdot (z_{1} + 3 z_{2})] + [y_{1} \cdot (z_{1} + z_{2}) + y_{2} \cdot (z_{1} + 3 z_{2})] =

< x, z > + < y, z >

Da muß man nur teilweise ausmultiplizieren und die Summanden etwas umsortieren. In gleicher Weise mußt Du jetzt halt noch zeigen, daß

< x, y + z > = < x, y > + < x, z >

und

< λ x, y > = λ \cdot < x, y >

ist

(< x, λ y > = λ \cdot < x, y >

und

< x, y > = < y, x >

habe ich Dir schon in meinem letzten Beitrag vorgerechnet). Kannst Du denn meine Vorgehensweise nachvollziehen?

Viele Grüße
Yokozuna

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