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Integrale berechnen mittels Residuen
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Funktionentheorie
Tags: Funktionentheorie, Interale, Residuen
 
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Hallo Leute, meine Aufgabe war, bzw. ist es Integrale zu berechnen, genauer mittels dem Residuenkalkühl. Die erste Fkt. war f(x)=cos^2(x)/(x^2+1). Die Rationale Fkt. hat eine einfache Singularität bei +-i. Folglich ergibt sich dann mit dem Ansatz für einer Residue 1. Ordnung: Res_i(f)=(x-i)*f(x)=cos^2(i)/(2i) was mit einwenig umstellen -i/2*cosh(1) ergibt. Dieses Ergebnis hat auch Wolframalpha bestätigt. Nun allerdings war das 2. Integral gegeben mit der Fkt. f(z)=sin(z)/((x^2+1)^2). Diese Fkt. besitzt hingegen Singularitäten 2. Ordnung an den Stellen +-i. Schlussfolgernd ist hier die Residue gegeben mit Res_i(f)=d/dz(z-i)^2f(z)=d/dz((e^(iz)-e^(-iz))/(x+r i)^2= i*(e^(i*x)-e^(-i*x))/(x+1)^3-i*(i*e^(i*x)+i*e^(-i*x))/(2*(x+1)^2)... naja entwas blöd zu lesen aber die Ableitung müsste richtig sein, da ich sie auch mit einem Rechner überprüft habe. Nun noch z=i einsetzen und umformen. Als Ergebnis habe ich dann für das Residium sinh(1)/4+isinh(1)/4.... wolframalpha allerdings gibt ein Ergebnis von -1/(4e). Daher stellt sich mir die Frage, ob ich den richtigen Ansatz gewählt habe, denn zur Berechnung der Residuen existieren ja je nach Bedingung unterschiedliche Möglichkeiten. Außerdem stell ich mir die Frage, wie ich beim letzteren das Integral auswerte. Normalerweise nimmt man die Summe der jeweiligen Residuen und multipliziert diese mit 2pi*i. Betrachtet man hier auch nur die Singularitäten der Oberenhalbebene ? Viele Grüße Tido Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, "Dieses Ergebnis hat auch Wolframalpha bestätigt. " Dann lass Dir mal von Wolframalpha das Integral berechnen und vergleiche mit Deinem Ergebnis. Beim zweiten Integral ist das Ergebnis offenbar da der Integrand ungerade ist. Gruß pwm |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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