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Integrale mit Treppenfunktionen bestimmen

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Integration

Tags: Integration

BulettenJoergi aktiv_icon

22:10 Uhr, 19.04.2017

Ich soll folgende Integrale mit Hilfe von Treppen Funktionen

g_{n}

bestimmen.

(1)

zu den arithmetisch angeordneten Zwischenstellen

x_{i; n} := a + \frac{i}{n} (b - a)

das Integral

\int_{a}^{b} q^{t} d t

mit Grenzen

a < b

und Parameter

q \in ℝ_{< 0}

.
(Wir haben als Hinweis dazu: Verwenden Sie die geometrische Summenformel und

lim_{h \to 0} \frac{q^{h} - 1}{h} = log q

(2)

zu den geometrisch angeordneten Zwischenstellen

x_{i; n} := {(\frac{b}{a})}^{\frac{i}{n}} a

das Integral

\int_{a}^{b} x^{s} d x

mit Grenzen

0 < a < b

und Parameter

s \in ℝ

.
(Wir haben als Hinweis dazu: Verwenden Sie die geometrische Summenformel. Behandeln Sie

s = - 1

separat.)

Ich weiß, dass die Integrale Riemann integriebar sind wenn das Ober- und Unterintegral übereinstimmen. Dieser Wert wäre, dann auch das gesuchte Ergebnis.
Mein Problem ist, dass ich die Treppenfunktionen nicht verstehe , bzw. nicht verstehe wie man diese bestimmt. Und somit gar nicht Ober- und Unterintegral bestimmen kann.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

00:22 Uhr, 20.04.2017

Hallo
eine Treppe unter oder über eine Funktion zu zeichnen und die Summe der Rechtecke auszurechnen ist doch nur Schreibarbeit. Was daran hast du nicht verstanden? insbesondere einfach ist das bei monotonen Funktionen wie den gegebenen. für die erste Unterteilung sie dir das Bild aus wiki
de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral#/media/File:Riemann_Integral_mit_Obersumme_und_Untersumme.svg
an braun die Unterstem braun +lila die Obersumme.
Sonst musst du sagen, was dir daran unklar ist.
eventuell nimm statt

q

eine konkrete Zahl

z . B

. 2 platte die Funktion nimm

a = 1, b = 5

und mach dir daran klar.
Gruß ledum

BulettenJoergi aktiv_icon

14:26 Uhr, 20.04.2017

Ich finde, dass nicht verständlich.
Ich muss ja das Oberintegral

: \int_{a}^{b} :=

inf

{

I_a

^b (g)

mit

g

ist eine Treppenfunktion und

g \geq f

und das selbe für das Unterintegral nur, dass diesmal natürlich

g \leq f

sein soll, bestimmen.

f (t) = q^{t}

Aber ich verstehe nicht wie, ich dieses hier
I_a

^b (g) = \sum_{i = 1}^{n} c_{i} (x_{i} - x_{i - 1})

bestimme.

BulettenJoergi aktiv_icon

15:02 Uhr, 20.04.2017

Also ich denke, dass ich jetzt bestimmt habe was

c_{i}

sein muss. Fürs Oberintegral müsste

c_{i} = q^{i}

und fürs Unterintegral

c_{i} = q^{i - 1}

. Wo es jetzt hakt, sind die gegebenen Zwischenstellen. Diese müsste ich ja für

x_{i}

und

x_{i - 1}

einsetzen. Also

x_{i} = a + \frac{i}{n} \cdot (b - a)

und

x_{i - 1} = a + \frac{i - 1}{n} \cdot (b - a)

ledum aktiv_icon

15:46 Uhr, 20.04.2017

Hallo
für

a) :

1. du hast es ja hier mit einer speziellen Unterteilung und damit Treppenfunktion zu tun, das inf und Sup ergibt sich für

n \to \infty

q_{i} - q_{i - 1} = \frac{b - a}{n}

c_{i} = q^{i}

ist Quatsch und zwar schlimmer!
c_i=f(q_I) hier ist kein

x

sondern ein

q

also nenn es auch so .

f (q) = q^{t}

Ober und Untersumme haben im Prinzip dieselben

c_{i}

nur die Summation geht über einen anderen Bereich, siehe die Veranschaulichung,

BulettenJoergi aktiv_icon

16:17 Uhr, 20.04.2017

1. Müsste das doch

f (t) = q^{t}

heißen , denn wir haben ja auch im Integral stehen

q^{t} d t

.
2. ist

c_{i} = q^{a + \frac{i}{n} (b - a)}

Also gilt für Ober- und Untersumme dann:
I_a

^b (g) = \sum_{i = 1}^{n} q^{a + \frac{i}{n} (b - a)} \cdot (\frac{b - a}{n}),

q^{a + \frac{i - 1}{n} (\frac{b}{a})} \leq q^{ε} \leq q^{a + \frac{i}{n} (b - a)}

mit

ε \in] a + \frac{i - 1}{n} (b - a), a + \frac{i}{n} (b - a) [

ledum aktiv_icon

16:39 Uhr, 20.04.2017

Hallo
natürlich hast du mit

t

statt

q

und

x

recht, blöder Fehler von mir. also

t_{i}

und

f (t)

Untersumme fängt bei

i = 0

an, und geht bis

n - 1,

Obersumme von 1 bis

n

q^{a}

aus der Summe ziehen

\frac{b - a}{n} = Δ t

oder

d

nennen , dann wird es übersichtlicher.
Gruß ledum

BulettenJoergi aktiv_icon

17:00 Uhr, 20.04.2017

Dann habe ich ja:

\sum_{i = 1}^{n} q^{a} \cdot q^{\frac{i}{n} (b - a)} \cdot (\frac{b - a}{n}),

dass

q^{a}

und

\frac{b - a}{n}

kann ich ja aus der Summe ziehen. Dann habe ich

q^{a} \cdot \frac{b - a}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} q^{(\frac{i}{n}) \cdot (b - a)}

Aber wie kann ich dies nun weitervereinfachen , als Tipp hatten wir: verwenden Sie die geometrische Summenformel und

lim_{h \to 0} \frac{q^{h} - 1}{h} = log (q)

ledum aktiv_icon

00:12 Uhr, 21.04.2017

Hallo
vielleicht solltest du meine Ratschläge befolgen, dann würdest du da ne geometrische Reihe sehen!
Gruß ledum

BulettenJoergi aktiv_icon

01:13 Uhr, 21.04.2017

Hab das mit der geometrischen Reihe gemacht und nun raus:

\frac{b - a}{n} \cdot \frac{q^{b} \cdot q^{\frac{b}{n}} - q^{a} \cdot q^{\frac{a}{n}}}{q^{\frac{b}{n}} - q^{\frac{a}{n}}}

Aber wie kann ich dass nun weiter vereinfachen.

ledum aktiv_icon

01:29 Uhr, 21.04.2017

Hallo
ob das richtig ist kann ich nicht sehen. warum nimmst du meinen Rat nicht an und nennst

\frac{b - a}{n} = d_{n}

mit

lim_{n \to \infty} d_{n} = 0

und auch die Summe für

n \to \infty

Gruß ledum

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