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Integrale mit sin, cos

Schüler

Tags: minus ist mir klar wegen sinus wird zu minus cosinus aber die 4, Undzwar wie kommt der Lehrer hier von der 3 auf die -4, wie kommt die den zustande?

Julesder aktiv_icon

16:45 Uhr, 12.02.2025

Wie kommt der Lehrer (Bild unten) von 3 auf

- 4,

das mit dem minus ist mir klar wegen

+ sin

wird

- cos

aber wie kommt die 4 zustande?

HAL9000

16:54 Uhr, 12.02.2025

Das kann man über die dort eigentlich nötige lineare Substitution

u = \frac{3}{4} x

begründen (Integrationskonstanten mal weggelassen):

\int \sin (\frac{3}{4} x) d x = \int \sin (u) \frac{4}{3} d u = - \frac{4}{3} \cos (u) = - \frac{4}{3} \cos (\frac{3}{4} x)

Wenn du da noch nicht so sattelfest bist, dann schreib dir das nochmal ausführlicher auf.

Julesder aktiv_icon

16:56 Uhr, 12.02.2025

Was soll das jetzt heißen? Weiß immer noch nicht wie er auf die Zahl 4 von der Zahl 3 kam

HAL9000

16:58 Uhr, 12.02.2025

> Was soll das jetzt heißen?

Es heißt, dass bei dir wenig Bereitschaft da zu sein scheint, über meinen Hinweis nachzudenken.

Julesder aktiv_icon

17:03 Uhr, 12.02.2025

Hab das was du geschrieben hast halt noch nie gehört und dachte man kommt durch einfaches rechnen dann auf die

4,

oben bei dir steht keine normale 4 dabei

mathadvisor aktiv_icon

17:05 Uhr, 12.02.2025

Eine Stammfunktion zu

\sin (a x)

ist

- \frac{1}{a} \cos (a x)

, überzeuge Dich durch Ableiten selbst.

HAL9000

17:08 Uhr, 12.02.2025

Es ist ja wohl nicht zuviel verlangt, von dem hergeleiteten

\int \sin (\frac{3}{4} x) d x = - \frac{4}{3} \cos (\frac{3}{4} x)

durch Multiplikation mit 3 auf

\int 3 \sin (\frac{3}{4} x) d x = - 4 \cos (\frac{3}{4} x)

zu schließen. Oder hast du Probleme mit einer einfachen Bruchrechnung wie

- \frac{4}{3} \cdot 3 = - 4

Julesder aktiv_icon

17:10 Uhr, 12.02.2025

Danke dir! Nun habe ich es verstanden einfach mal nehmen

Julesder aktiv_icon

17:16 Uhr, 12.02.2025

Wie kommt er hier auf

+ 4

im Ergebnis?

mathadvisor aktiv_icon

17:18 Uhr, 12.02.2025

indem er

- (- 4)

rechnet. Was erhälst Du denn dafür?

Julesder aktiv_icon

17:19 Uhr, 12.02.2025

Okey danke

Randolph Esser aktiv_icon

20:35 Uhr, 12.02.2025

Die Substitution in HALs erstem Beitrag

könnte man für einen Schüler der Fairness halber

etwas ausführlicher gestalten:

Wenn man in

\int_{a}^{b} sin (\frac{3}{4} x) d x

den Term

\frac{3}{4} x

durch die Variable

u

ersetzt, muss man wegen

\frac{d u}{d x} = \frac{d (\frac{3}{4} x)}{d x} = (\frac{3}{4} x)' = \frac{3}{4} \Rightarrow d x = \frac{4}{3} d u

auch

d x

durch

\frac{4}{3} d u

ersetzen.

Außerdem ändert sich auch das Integrationsintervall:

Aus

[a, b]

wird

[\frac{3}{4} a, \frac{3}{4} b]

.

Insgesamt gilt somit

\int_{a}^{b} sin (\frac{3}{4} x) d x = \int_{\frac{3}{4} a}^{\frac{3}{4} b} sin (u) \frac{4}{3} d u = \frac{4}{3} \int_{\frac{3}{4} a}^{\frac{3}{4} b} sin (u) d u

.

Um das alles ganz genau zu verstehen, braucht man noch ein bisschen mehr Anlauf,

was den Rahmen hier sprengen würde

(siehe auch Integration durch Substitution).

\approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx

Wenn Du nur die Korrektheit des Ganzen überprüfen willst,

reicht auch einfach

(- 4 cos (\frac{3}{4} x) + 4 x)' = (- 4 cos (\frac{3}{4} x))' + (4 x)'

= - 4 cos' (\frac{3}{4} x) (\frac{3}{4} x)' + (4 x)'

(Kettenregel)

= 4 sin (\frac{3}{4} x) \frac{3}{4} + 4 = 3 sin (\frac{3}{4} x) + 4

KL700 aktiv_icon

09:50 Uhr, 13.02.2025

Du musst hier nur die Ableitungen von

sin (a x)

und

cos (a x)

und die Faktor- und Kettenregel kennen.
Damit kannst du auf deren Integrale leicht zurückschließen.

sin (a x)

wird abgeleitet zu

cos (a x) \cdot a,

cos (a x)

- sin (a x) \cdot a

Ähnlich bei:

f (x) = a \cdot e^{b x}

Dieser Rechner zeigt dir auch den Weg:

www.integralrechner.de

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