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Integralrechnung Textaufgabe

Schüler Gymnasium,

Tags: Integralrechnung

neizorec aktiv_icon

23:12 Uhr, 10.05.2015

Hallo beziehungsweise guten Abend,
ich schreibe in nächster Zeit eine Mathe Klausur Grundniveau in der

11

. Klasse.
Ich bin schon beinahe den ganzen Tag am lernen und hänge an Textaufgaben der Integralrechnung fest. Vielleicht könnt ihr mir ja erklären, wie man folgende Aufgabe löst. Sorry schonmal im Vorfeld, wenn die Aufgabe für euch zu einfach erscheint aber ich bin gewiss kein Mathe Liebhaber.

Aufgabe:

Unmittelbar nach dem Deichbruch eines Flusses fließen etwa 150m³ Wasser pro Minute durch die Bruchstelle. Man geht davon aus, dass sich die Bruchststelle durch den Wasserfluss so vergrößert, dass sich innerhalb einer Minute die Durchflussstärke um 30m³ erhöht.

a)

Geben sie einen Funktionsterm

f (t)

an, der jedem Zeitpunkt

t

nach dem dammbruch eine Durchflussstärke (

i n

m³ pro Minute) zuordnet. zeichnen Sie den Graphen von

f

b)

Bestimmen Sie die Menge Wasser, die nach 10min 20min 30min xmin (in

min)

nach dem Dammbruch die bisher durchgeflossene Wassermenge in m³ zuordnet, auch mithilfe eines Integrals. Zeichnen Sie den Graphen von I.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

00:11 Uhr, 11.05.2015

Hast du schon herausgefunden, wie der Funktionsgraph aussieht?

Auf der waagrechten Achse wird die Zeit

t

in Minuten und auf der senkrechten die Durchflussstärke

f

m^{3}

pro Minute aufgetragen.

t = 0

sei der Zeitpunkt, zu dem der Damm bricht.
Welchen Wert musst du bei

t = 0

auftragen?
Welchen Wert eine Minute später bei

t = 1

?
Welchen Wert bei

t = 2

U . s . f

.
Welcher Funktionsgraph stell sich da ein und wie könnte man auf Funktionsgleichung kommen?

linuxdoesitbetter aktiv_icon

11:02 Uhr, 11.05.2015

Hallo neizorec,

in Deiner Aufgabe ist eine Funktion gesucht, die den Volumenstrom in Abhängigkeit zur Zeit beschreibt. Dabei sind ein Anfangsvolumenstrom (

150 \frac{m^{3}}{m i n}

) und eine Volumenstromzunahme

(30 \frac{m^{3}}{m i n^{2}})

gegeben. Der Volumenstrom ist die Änderungsgeschwindigkeit des Volumens. Die Volumenstromzunahme verhält sich zum Volumen wie die Beschleunigung zum Weg. Anders ausgedrückt: Der Volumenstrom ist die erste Ableitung des Volumens nach der Zeit

\dot{V} = \frac{d V}{d t}

und die Volumenstromzunahme ist die zweite Ableitung des Volumens nach der Zeit.

\overset{..}{V} = \frac{d^{2} V}{d t^{2}}

Anhand des letzten Terms sieht man auch gut die Einheit der Volumenstromzunahme (

\frac{m^{3}}{m i n^{2}}

).

Wir nennen den Anfangsvolumenstrom einfach mal

n

. Dieser hängt nicht von der Zeit ab. Die Volumenstromzunahme nennen wir

m

. Diese hängt von der Zeit ab. Das heißt, die Volumenstromzunahme wird mit der Zeit multipliziert. Somit hat die gesuchte Gleichung die Form:

\dot{V} (t) = m \cdot t + n

( Sieht nach einer einfachen linearen Funktion aus, oder? )

Wenn du zu dieser Funktion das Integral bezüglich der Zeit bestimmst, hast du eine Funktion

V (t)

, also die durchgeflossene Wassermenge in Abhängigkeit der Zeit.

Was meinst Du, wie könnte die Lösung von

V (t) = \int \dot{V} (t) d t = \int (m \cdot t + n) d t

aussehen?

Gruß,
ldib

neizorec aktiv_icon

13:33 Uhr, 11.05.2015

Okay das bedeutet, dass ich nun lediglich die gewünschten Zeitpunkte

t

in die Formel einsetze sowie

m

und

n,

welche ja von Anfang an bekannt waren?

Also für die Menge an Wasser nach

10 min

V(10)=∫V(10)dt=∫(30⋅10+150)dt ?

linuxdoesitbetter aktiv_icon

13:57 Uhr, 11.05.2015

Hallo neizorec,

nicht ganz.

Du sollst das Integral ausrechnen. Das heißt, du sollt die Stammfunktion bilden, um die gesuchte Gleichung integralfrei schreiben zu können.

Ich hatte dir die Funktion absichtlich so hingeschrieben, dass du erkennst, dass es sich um eine lineare Funktion, sprich: ein Polynom erster Ordnung, handelt.

Wie bestimmt man die Stammfunktion eines Polynoms?

Bsp:

f (x) = m \cdot x + n = m \cdot x^{1} + n \cdot x^{0}

F (x) = \int f (x) d x = \frac{m}{2} x^{2} + n \cdot x + c

Oder nochmal in Worten: Du bildest die Stammfunktion (das Integral) eines Polynoms, indem du bei jedem Summanden die Potenz der abhängigen Variable um eins erhöhst, und den Koeffizienten durch den erhöhten Exponenten teilst.

Wie sieht denn die Lösung für

V (t)

aus, wenn du die Gleichung integralfrei schreibst?

Gruß,
ldib

linuxdoesitbetter aktiv_icon

14:09 Uhr, 11.05.2015

Und noch was. Die Einheiten sind keine nutzlose Verzierung. Wenn du die Einheiten konzequent mitziehst, hast du einen gutes Kriterium dafür, ob die Rechnung richtig sein kann. Wenn bei

V (t)

etwas anders als

m^{3}

herauskommt, wäre ich stutzig.

Gruß,
ldib

neizorec aktiv_icon

14:37 Uhr, 11.05.2015

Tut mir leid, wenn ich sowas nicht sofort verstehe.

V(t) =

\frac{m}{2} x ² + n * t

So vielleicht ?

linuxdoesitbetter aktiv_icon

14:40 Uhr, 11.05.2015

Das hat schon sehr viel Schönes! :-)

Jetzt nur noch

x^{2}

durch

t^{2}

ersetzt, und du hast deine Gleichung. Natürlich musst du noch m und n ersetzen. Ich bin gespannt. :-)

Gruß,
ldib

neizorec aktiv_icon

14:45 Uhr, 11.05.2015

Für den Stand bei 10 Minuten hätte ich nun so eingesetzt:

V(10) =

\frac{30 m ³}{2} 10 ² + 150 m ³ * 10

linuxdoesitbetter aktiv_icon

14:48 Uhr, 11.05.2015

Naja, der Zahlenwert wäre richtig. Aber was ist aus den Minuten geworden?

Schreibe mir bitte die Funktion

V (t)

noch einmal mit den Einheiten auf. Bitte ohne einen Wert einzusetzen.

linuxdoesitbetter aktiv_icon

15:08 Uhr, 11.05.2015

Was ich gern gesehen hätte, wäre Folgendes gewesen:

V (t) = 15 \frac{m^{3}}{m i n^{2}} \cdot t^{2} + 150 \frac{m^{3}}{m i n} \cdot t

Wenn du in diese Gleichung die Zeit in Minuten einsetzt, siehst du, dass wenigstens schon mal

m^{3}

herauskommen.

Viele Grüße,
ldib

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