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Integralsatz von Gauss / Fluss

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Integration

Tags: Fluss, Gauss, Integralsatz, Integration

fisher18 aktiv_icon

23:34 Uhr, 13.07.2011

Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme:
"Berechne den Fluss des Vektorfelds

\vec{v}

durch die Fläche S.

\vec{v} = (x, y, z - 1)^{T}, S : z = x^{2} + y^{2}, 0 \leq z \leq 4 .

Also ich habe hier den Gauss-Integralsatz angewendet:

\int \int \int_{V} d i v (\vec{v}) d V = \int \int_{S} (\vec{v} * \vec{n}) d S

.

Ich habe zuerst das linke Integral ausgerechnet und erhielt:

3 * \int_{0}^{2} \int_{0}^{4} \int_{0}^{2 π} r d φ d z d r = 48 π

. (mit Zylinderkoordinaten)
Dann das rechte (sollte ja das Gleiche rauskommen):

\vec{v} * \vec{n} = x^{2} + y^{2} + 1 = r^{2} + 1

(mit Polarkoordinaten).

\int_{0}^{2} \int_{0}^{2 π} (r^{3} + r) d φ d r = 12 π

!! Wo liegt mein Fehler?

Ich bin wirklich über jede Hilfe froh. B
Danke im voraus.

Grüße
fisher

fisher18 aktiv_icon

01:05 Uhr, 14.07.2011

Ich glaube, ich habe es selber rausgefunden...

\int \int_{S} (\vec{v} * \vec{n}) d S = \int \int_{S} d i v (\vec{v}) d S

=Ringintegral über C von

\vec{v} * d \vec{r}

, wobei

C : x^{2} + y^{2} = z

(Satz von Green)

Für das rechte Integral:

\int_{0}^{2} \int_{0}^{2 π} 3 r d φ d r = 12 π

.

Für das linke Integral:

\vec{v} * \vec{n} = - d e t ((\begin{array}{rcl} v_{1} & 1 & 0 \\ v_{2} & 0 & 1 \\ v_{3} & 2 x & 2 y \end{array})) = x^{2} + y^{2} + 1 = r^{2} + 1

(mit Polarkoordinaten).

\int_{0}^{2} \int_{0}^{2 π} (r^{2} + 1) r d φ d r = 12 π

.

Grüße
fisher

Yokozuna aktiv_icon

10:19 Uhr, 15.07.2011

Hallo,

soweit ich weiß, gilt der Satz von Green nur im Zweidimensionalen Raum und die erste und zweite Grenn'sche Formel haben mit Skalarfeldern zu tun. In Deinem Beispiel geht es aber um Vektorfelder und da ist der Gauss'sche Integralsatz eigentlich schon richtig.
Ich habe unten mal zwei Bilder beigefügt, welche die Situation verdeutlichen sollen. Man soll ja den Fluss durch die Fläche

S

bestimmen. Die Fläche

S

ist ein Rotationsparaboloid. Die Bilder zeigen jeweils einen Querschnitt durch das Paraboloid (rot dargestellt), waagrecht ist die xy-Ebene und senkrecht die z-Achse. Um den Gauss'sche Integralsatz anwenden zu können, muß

S

das Volumen, über das integriert wird, begrenzen. Da hast Du den ersten Fehler gemacht. Du mußt entweder über das Volumen unterhalb des Paraboloids integrieren (im ersten Bild) oder über das Volumen oberhalb des Paraboloids (im zweiten Bild), aber Du hast über den ganzen Zylinder integriert. Ich bekomme im ersten Fall (Volumen unterhalb)

\int \int \int_{V}

div

(\vec{r}) \cdot

= 3 \cdot \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} \int_{0}^{r^{2}} r \cdot d z \cdot

\cdot d φ = 24 π

und im zweiten Fall (Volumen oberhalb)

\int \int \int_{V}

div

(\vec{r}) \cdot

= 3 \cdot \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} \int_{r^{2}}^{4} r \cdot d z \cdot

\cdot d φ = 24 π

Im Gauss'schen Integralsatz ist über die gesamte Oberfläche zu integrieren, die das Volumen einschließt. Da hast Du den zweiten Fehler gemacht, denn Du hast nur über einen Teil der Oberfläche integriert.
Im ersten Fall bedeutet das, daß man über drei Teilflächen integrieren muß:
- über das Paraboloid (rot dargestellt), hier bekomme ich

- 12 π

heraus (der Normalenvektor zeigt immer vom Volumen weg)
- über die zylindrische Mantelfläche (blau dargestellt), hier bekomme ich

32 π

heraus
- über die kreisförmige Bodenfläche (grün dargestellt), hier kriege ich

4 π

heraus
Insgesamt paßt dann alles:

- 12 π + 32 π + 4 π = 24 π

Im zweiten Fall muß ich nur über zwei Teilflächen integrieren:
- über das Paraboloid (rot dargestellt), hier bekomme ich

12 π

heraus (der Normalenvektor zeigt jetzt in die andere Richtung wie im ersten Fall)
- über die kreisförmige Deckenfläche (grün dargestellt), hier kriege ich

12 π

heraus
Insgesamt paßt dann wieder alles:

12 π + 12 π = 24 π

Viele Grüße
Yokozuna

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