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Integration durch Partialbruchzerlegung

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Tags: e-Funktion, Partialbruchzerlegung

Jana95 aktiv_icon

11:07 Uhr, 13.04.2017

Hallo Mathe Profis!

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Und zwar gehts um folgende Aufgabe:

\int \frac{3 e^{x} + 4 e^{- x} + 2}{1 - e^{2 x}} d x

Hier sollen wir mit der Partialbruchzerlegung integrieren. Also bisschen was hab ich schon geschafft :-)

\frac{A}{1 - e^{x}} + \frac{B}{1 + e^{x}} \Rightarrow

(Auf Hauptnenner bringen und Nenner erstmal "ignorieren")

\Rightarrow

A (1 + e^{x}) + B (1 - e^{x}) \Rightarrow

Gleichsetzen mit dem Zähler der Ausgangsfunktion

\Rightarrow

3 e^{x} + 4 e^{- x} + 2 = A (1 + e^{x}) + B (1 - e^{x}) \Rightarrow

Beliebige Werte für

x

einsetzen, also damit ich A und

B

rausfinde (Darf man das?!)

\Rightarrow

x = 0 \to A = 4,5

x = 1 \to B = 2,97

Das würde ich dann rausbekommen:

\frac{4,5}{1 - e^{x}} + \frac{2,97}{1 + e^{x}}

Hab zur Kontrolle die Funktion mal bei WolframAlpha eingegeben und da kam für

B

was anderes raus. (Siehe Anhang)
Könnt ihr mal bitte drüberschauen ob das richtig ist?

Vielen Dank Leute!!

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Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

Roman-22

11:29 Uhr, 13.04.2017

Leider ist dein Ansatz falsch - damit kommst du doch im Zähler nie auf

e^{- x}

.

Erweitere erst mit

e^{x}

und setze dann eine neue PBZ mit drei Teilbrüchen an

\frac{3 e^{x} - 4 e^{- x} + 2}{1 - e^{2} x} = \frac{3 e^{2} x + 2 e^{x} - 4}{e^{x} \cdot (1 + e^{x}) \cdot (1 - e^{x})}

Damit kommst du dann auch auf den Term

\frac{4}{e^{x}},

den du bei Onkel Wolfram siehst, und auch auf die richtigen anderen Koeffizienten.

Respon

11:45 Uhr, 13.04.2017

TILT !
( war zu zögerlich )

Jana95 aktiv_icon

11:53 Uhr, 13.04.2017

Vielen Dank für eure Antworten! Das geht ja echt schnell hier :-)

Okey, jetzt ists mir schon etwas klarer, wo das

4 e^{- x}

herkommt. Aber was hab ich bei meinem Ansatz genau falsch gemacht? Reicht es also nicht, wenn ich ausschließlich den Nenner anschaue? Also muss ich erstmal in den Zähler schauen, ob da "versteckte" Nenner-"Teile" in Form von negativen Exponenten sind?

ledum aktiv_icon

12:10 Uhr, 13.04.2017

Hallo
in so einem Fall setze

e^{x} = u

und mit

\frac{3 u - \frac{4}{u} + 2}{1 - u^{2}}

würdest du doch sicher mit dem

\frac{1}{u}

im Zähler keine Partialbruchzerlegung machen
Gruss ledum

Jana95 aktiv_icon

12:13 Uhr, 13.04.2017

Jau, danke Ledum, das leuchtet mir ein!

Also muss ich erstmal schauen, dass ich die Ausgangsfunktion frei von Doppelbrüchen mache?

funke_61 aktiv_icon

12:37 Uhr, 13.04.2017

Hallo, da ledum nicht mehr da ist:
es geht darum, dass Zähler und Nenner (evtl. nach Substitution bzw. Erweiterung) "nur noch" Polynome sind.
Partialbruchzerlegung ist dann immer möglich, wenn der Grad des Zählerpolynoms kleiner ist als der des Nennerpolynoms.
;-)

Jana95 aktiv_icon

15:53 Uhr, 13.04.2017

Vielen Dank für eure Hilfe! Jetzt hab ich das gleiche wie WolframAlpha rausbekommen :-)

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