Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Integration in Zylinderkoordinaten

Integration in Zylinderkoordinaten

Universität / Fachhochschule

Tags: Integration

Angii aktiv_icon

18:54 Uhr, 03.06.2010

Hallo..

ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

°... hochzahl

(a)

Bestimmen Sie durch Integration den Raum des Viertelzylinders x°2+y°2=4,

0 \leq z \leq 4

im 1. Quadranten

(x, y > 0)

(b)

Bestimmen sie durch Integration

d

Zylinderkordinaten die Mantelfläche der Zylinderkoordinaten

(c)

Zeigen sie, dass bei dem Viertelzylinder (mantelfläche

+

grundfläche

(z = 0) +

deckfläche

(z = 4) +

schnittfläche

(x = 0

und

y = 0))

der satz von Gauß für das Vektorfeld gilt.
V(x,y,z)=(z°2,2x,3x°2*z)

Bitte dringend um Hilfe!!!

Lg angelika

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Alx123 aktiv_icon

17:01 Uhr, 05.06.2010

Hallo,
a).
Das kannst du mit einem Doppel oder Dreifach-Integral berechnen. Ich werde es jetzt mit einem Dreifachintegral lösen. Es ist eigentlich immer nützlich sich eine Skizze des Integrationsgebietes zumachen um einfacher auf die Beschreibung zukommen. Man sollte hier mit Zylinderkoordinaten rechnen. Eine mögliche Beschreibung ist dann:

r_{u} = 0 \leq r \leq 4 = r_{0}

φ_{u} (r) = 0 \leq φ \leq \frac{π}{2} = φ_{o} (r)

z_{u} (φ, r) = 0 \leq z \leq 4 = z_{o} (φ, r)

Für das Volumen gilt dann:

\int_{r_{u}}^{r_{o}} \int_{φ_{u}}^{φ_{o}} \int_{z_{u}}^{z_{o}} r d z d φ d r = \int_{0}^{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{4} r d z d φ d r

1.N.R.

\int_{0}^{4} r d z = [r z]_{0}^{4} = 4 r

2.N.R.

\int_{0}^{\frac{π}{2}} 4 r d φ = [4 r]_{0}^{\frac{π}{2}} = 2 π r

3.N.R.

\int_{0}^{4} 2 π r = [π r^{2}]_{0}^{4} = 16 π

\Rightarrow \int_{0}^{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{4} r d z d φ d r = 16 π

Angii aktiv_icon

19:19 Uhr, 05.06.2010

Hi!

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort...
Wenn ich das also richtig verstanden habe, berechnest du das Volumen durch die Integration von

r

null nach

r

und

φ

null nach

φ

. und einmal

r

nch

d z d φ

und dr...

Ok... Ich glaub ich verstehe ungefähr, was du meinst...

nur was mir nich ganz klar ist, ist deine namensgebung... heißt das ru.. untergrenze von r? wenn ja, dann ist alles klar.

Danke :-D)
angii

Alx123 aktiv_icon

11:57 Uhr, 06.06.2010

Ja, das ist richtig, und

r_{o}

ist die obere Grenze, also wird

r

von

0

bis

4

integriert u.s.w.

Angii aktiv_icon

17:18 Uhr, 06.06.2010

Ok. Gut. :-D)

Vielen Dank für die Hilfe bei

a)

Ich hab zwar nicht viel ahnung, wie

b

gehen könnte, aber ich stelle einfach mal ne vermutung aus... ich hoffe sie ist nicht soo dämlich...

ich würde die oberfläche des viertelzylinders in 3 teile aufteilen... 2 rechtecke und die gebogene fläche...

ich kann ja den radius berechnen... hab das volumen

(16 π),

das rechne ich mal 4 und setzte es mit r°2*pi*h gleich... bekomme dann den radius raus..

das heißt für das erste strecke würde ich integrieren: integral von 0 bis radius über

r

dr... aber irgendwie muss ich ja die höhe der seitenwand auch einbringen... also

4 \cdot

integral von... ???

Bitte um schnelle antwort!

Verzweifelt ;-)
Angelika

Alx123 aktiv_icon

23:43 Uhr, 06.06.2010

Die Oberfläche des Viertelzylinders in drei Teile aufteilen ist eine gute Idee. Also:

1:
Boden

F_{1}

+ Decke

F_{2}

2:
Die zwei " inneren " geraden Seiten

F_{3}, F_{4}

3:
Die runde " äussere " Seite

F_{5}

F_{1}

und

F_{2}

die gleiche Fläche sind, brauchst du natürlich nur eine zuberechnen und das multiplizierst du mit

2

. Da kannst du mit einen Doppel-Integral lösen ( oder einfach Formel für Kreisfläche, wenn erlaubt).

Auch sind die Flächen

F_{3}, F_{4}

gleich, hier macht es ja kaum noch Sinn zuintegrieren.

Bei der Fläche

F_{5}

brauchst du ein Oberflächenintegral, dazu muss erst die Fläche über der integriert wird beschrieben werden. Es gilt:

F_{5} = {\vec{x} (u, v) ∣ (u, v) \in B = [0, \frac{π}{2}] \times [0, 4]}

mit

\vec{x} (u, v) = (\begin{array}{c} \cos (u) \\ \sin (u) \\ v \end{array})

Dann gilt:

V_{F_{5}} = \int_{F} d F = \int_{B} ∣ \vec{x_{u}} \times \vec{x_{v}} ∣ d B

Die Fläche kannst du in der Grafik sehen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

769292

768372

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?