Volumen einer Halbkugel

Hallo, bin mal wieder auf eure Hilfe angewiesen..:)

Folgendes Problem:

ich soll das Volumen einer Halbkugel mit Radius a und

${\displaystyle \mathrm{H<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\{\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},& \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\end{array}& \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\end{array}\in {\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3\rfloor {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\le {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2,\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ge 0\}}$

in kartesischen Koordinaten berechnen. Dazu soll ich zunächst die Grenzen für x, y(x) und z(x,y) festlegen.

Nun für das x habe ich ${\displaystyle 0\le \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

für das y : ${\displaystyle -\sqrt{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}\le \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le \sqrt{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}$

und für das z fallen mir komische Sachen ein, die das Integral ziemlich schwer und unglaubwürdig machen... könnt ihr mir erklären, wie man auf die Grenzen von z(x,y) kommt?

ich danke euch

ok, dann habe ich f�r das z also: ${\displaystyle 0\le \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le \sqrt{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2{-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}$

und das Integral ist dann:

${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}{\int }_{-\sqrt{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}^{\sqrt{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}{\int }_0^{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}1\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

versteh ich das richtig?

also muss dann x von -R bis R laufen? (also in meinem Fall dann von -a bis a)

aber dann müssten ja die Grenzen von y auch von Null bis Wurzel... oder bin ich jetzt ganz verwirrt? P=/

ok, dann muss ja die ganze Fläche betrachtet werden :D

ja, ausrechnen darf ich ihn auch... vlt wird es mit den neuen Grenzen etwas mehr Sinn ergeben :)

Keine Sorge, das ist dann direkt die nächste aufgabe und dann noch den Zylinder.. P=/

ich glaube ich stolpere schon direkt am Anfang.. also, um das Integral auszurechen muss ich doch mit dem äußersten beginnen, oder?

dann aber müsste ich im weiteren (x^2- y^2) substituieren um die Stammfkt zu berechenen.. und dann kommt bei mir nur wirres Zeug und ich komme nicht weiter.... Hiiiiilfe

Oh my gosh.. Es hat geklappt!!!! Yuhu!!! Vielen Dank, du hast mir super geholfen:D