Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Integration und Differentiation vertauschen

Integration und Differentiation vertauschen

Universität / Fachhochschule

Tags: Differentiation, Integration

gonnabeph aktiv_icon

11:02 Uhr, 07.06.2014

Hallo, ich habe die Aufgabe:

Wir wollen in dieser Aufgabe benutzen, dass für hinreichend brave Funktionen f die Integration und Ableitung vertauscht werden dürfen.

a) Die Aufgabe ist, das Integral

I (a) = \int_{0}^{1} d t \frac{t^{a} - 1}{l n (t)}

mit

a \geq 0

zu berechnen. Zeige zunächst, dass

\frac{d I}{d a} = \frac{1}{a + 1}

ist. Geben Sie dann die Stammfunktion von

\frac{1}{a + 1}

an. Bestimmen Sie

c

durch Vergleich im Spezialfall

a = 0

.

Ich bin mir absolut nicht sicher was ich nun machen soll. Ich habe schon versucht

I (a)

zu integrieren aber das scheint mir fast unmöglich. Dann habe ich geschaut ob ich nicht einfach den Integranden ableiten kann um auf

\frac{1}{a + 1}

zu kommen allerdings bringt das auch nichts. Wie das mit dem vertauschen von Integration und Differentiation funktioniert ist mir auch nicht klar.

Kann mir jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:11 Uhr, 07.06.2014

"Dann habe ich geschaut ob ich nicht einfach den Integranden ableiten kann um auf 1a+1 zu kommen allerdings bringt das auch nichts."

Vielleicht machst Du es falsch?
Es ist nämlich

\frac{d}{d a} (\frac{t^{a} - 1}{\ln t}) = \frac{\ln t \cdot t^{a}}{\ln t} = t^{a}

,
was doch relativ einfach zu integrieren ist.

gonnabeph aktiv_icon

11:23 Uhr, 07.06.2014

Wieso ist es denn nicht

\frac{d I}{d a} = (\frac{t^{a}}{l n (t)} - \frac{1}{l n (t)}) ʹ = \frac{a t^{a - 1}}{l n (t)}

Das wäre doch dann nach

a

abgeleitet?

Müsste nicht auch

\frac{1}{a + 1}

als Lösung herauskommen? Irgendwie stehe ich gerade derbe auf dem Schlauch ...

DrBoogie aktiv_icon

11:41 Uhr, 07.06.2014

"Das wäre doch dann nach

a

abgeleitet?"

Nein, was Du schreibst, ist Ableitung nach

t

. Dich verwirren die Buchstaben, denke ich. Normalerweise sind die einfach vertauscht.
Also, normalerweise schreibt man

(a^{x})^{ʹ} = \ln a \cdot a^{x}

. Aber in Deinem Fall spielt

a

die Rolle von

x

.
Also, nochmal:

\frac{d}{d a} t^{a} = \ln t \cdot t^{a}

.

Und dann ist das Integral

\int_{0}^{1} t^{a} d t = [\frac{t^{a + 1}}{a + 1}]_{0}^{1} = \frac{1}{a + 1}

leicht zu berechnen, wie Du siehst.

gonnabeph aktiv_icon

11:49 Uhr, 07.06.2014

Ich dappes lol, also ist es wie du schon sagst dann:

t^{a} = e^{l n (t) a}

und damit:

\frac{d I}{d a} = t^{a}

In der Aufgabe steht allerdings

\frac{d I}{d a} = \frac{1}{1 + a}

Wieso ist denn meine Ableitung dann

\frac{d I}{d a} = t^{a}

? Irgendwie verstehe ich nicht so recht den Zusammenhang ...

DrBoogie aktiv_icon

11:54 Uhr, 07.06.2014

Du bist einfach immer noch ein Bisschen verwirrt. :-)

Also:

\frac{d}{d a} (\int_{0}^{1} \frac{t^{a} - 1}{\ln t} d t) = \int_{0}^{1} \frac{d}{d a} (\frac{t^{a} - 1}{\ln t}) d t

- haben Int und Diff vertauscht.
Weiter:

\int_{0}^{1} \frac{d}{d a} (\frac{t^{a} - 1}{\ln t}) d t = \int_{0}^{1} (\frac{\ln t \cdot t^{a}}{\ln t}) d t = \int_{0}^{1} t^{a} d t = \frac{1}{a + 1}

.
Somit

\frac{d}{d a} (\int_{0}^{1} \frac{t^{a} - 1}{\ln t} d t) = \frac{1}{a + 1}

gonnabeph aktiv_icon

12:11 Uhr, 07.06.2014

Ah, jetzt wird es deutlicher. Ich frage mich dann nur wieso es nicht auch so in der Aufgabe steht also mit dem Differentialoperator vor dem Integral? Das stifftet doch totale Verwirrung das man eigentlich die Ableitung des Integrals bilden soll ...
Ich werde später die Aufgabe einmal durchrechnen und mich wieder melden. Es gibt nämlich auch noch einen Aufgabenteil b) aber jetzt wird erstmal gegessen... ;-)

Schonmal Merci!

gonnabeph aktiv_icon

13:07 Uhr, 07.06.2014

So, ich habe etwas weiter gerechnet. Nun soll ich von

\frac{1}{a + 1}

die Stammfunktion angeben. Ich dachte mir dazu:

\int \frac{1}{a + 1} d a = l n (a + 1) + c

Nun soll ich noch

c

bestimmen. Dazu ist

a = 0

vorgegeben. Muss ich jetzt

l n (a + 1) + c = 0

setzen? Das wäre ja dann:

l n (1) + c = 0

Also

c = 0

DrBoogie aktiv_icon

13:32 Uhr, 07.06.2014

Ja,

c = 0

ist richtig.

gonnabeph aktiv_icon

14:16 Uhr, 07.06.2014

Super, damit ist Aufgabe a) erledigt. Nun Aufgabe b)

Nun soll das Integral

J_{n} (k) = \int_{0}^{\infty} d t t^{n} e^{- k t^{2}}

mit

k > 0

für ungerade, positive n gefunden werden. Dazu soll zunächst

J_{1} (k)

berechnet werden. Da soll

J_{1} (k) = \frac{1}{2 k}

herauskommen. Bestimmen sie dann

J_{3} (k)

, indem Sie

\frac{d J_{1}}{d k}

auf zwei Wegen berechnen: Einerseits durch Ableiten des Ergebnisses der Integration, andererseits durch Integration der Ableitung. Auf die gleiche Art bestimmen Sie

J_{5} (k)

Also ich sollte als erstes zeigen das

J_{1} (k) = \frac{1}{2 k}

zeigen.

Also muss ich folgendes Integral berechnen:

\int_{0}^{\infty} d t t e^{- k t^{2}}

Am geschicktesten ist es wohl mit partieller Integration.

u = t

also

u ʹ = 1

v ʹ = e^{- k t^{2}}

also

v = \frac{1}{- 2 k t} e^{- k t^{2}}

Demnach ist

\int_{0}^{\infty} d t t e^{- k t^{2}} = [- t \frac{1}{2 k t e^{- k t^{2}}}]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2 k t} e^{- k t^{2}} d t

Nun hänge ich an dem Integral:

\int_{0}^{\infty} \frac{1}{2 k t} e^{- k t^{2}} d t

Den Nenner zu substituieren führt wohl nicht zum Erfolg. Hast du evtl. eine Idee?

Schonmal vielen Dank! :-)

DrBoogie aktiv_icon

16:05 Uhr, 07.06.2014

Statt partieller Integration nutze lieber die Substitution

k t^{2} = y

gonnabeph aktiv_icon

17:18 Uhr, 07.06.2014

Also wenn ich

u = - k t^{2}

substituiere erhalte ich:

\int_{0}^{\infty} \frac{1}{2 k t} e^{- k t^{2}} d t = \int \frac{1}{2 k t} e^{u} \frac{1}{- 2 k t} d u

Da lässt sich doch auch nichts vereinfachen?

DrBoogie aktiv_icon

17:27 Uhr, 07.06.2014

Ich verstehe nicht, wie Du substituierst.
Du hast das Integral

\int t e^{- k t^{2}} d t

, nach der Substitution

k t^{2} = y

wird daraus

\frac{1}{2 k} \int e^{- y} d y

(die Grenzen müssen auch angepasst werden, daher schrieb ist gar nicht - ich bin zu faul dafür :-) )

gonnabeph aktiv_icon

17:37 Uhr, 07.06.2014

Ich bin ziemlich unkonzentriert merke ich gerade. Oh man, jetzt habe ich auch die Stammfunktion für

J_{1} (k)

erhalten. Nun soll

J_{3} (k)

bestimmt werden, indem ich

\frac{D J_{1}}{d k}

auf zwei Wegen berechnen soll.
1) Ableiten des Ergebnisses der Integration
2) Durch Integration der Ableitung

Wenn ich das richtig verstanden habe soll ich nun per Integration

J_{3} (k)

bestimmen und anschließend 2 mal ableiten und schauen ob

J_{1} (k)

wieder heraus kommt?

DrBoogie aktiv_icon

18:57 Uhr, 07.06.2014

Nicht ganz.
Du musst zuerst mal

J_{1} = \int_{0}^{\infty} t e^{- k t^{2}} d t

nach

k

ableiten, durch Vertausch von Int und Diff:

\frac{d}{d k} J_{1} = \int_{0}^{\infty} \frac{d}{d k} (t e^{- k t^{2}}) d t = \int_{0}^{\infty} - t^{3} e^{- k t^{2}} d t = - J_{3}

.
Und dann

J_{1}

als schon berechnete Funktion ableiten:

\frac{d}{d k} J_{1} = \frac{d}{d k} \frac{1}{2 k} = \frac{- 1}{2 k^{2}}

.
Damit hast "nebenbei"

J_{3}

berechnet.

gonnabeph aktiv_icon

19:42 Uhr, 07.06.2014

Irgendwie checke ich das nicht...

Ich habe doch gerade berechnet:

J_{1} (k) = \int_{0}^{\infty} d t t e^{- k t^{2}} = \frac{1}{2 k}

Und nun erhalte ich

J_{3} (k)

durch ableiten von

J_{1} (k)

? Das macht doch garkeinen Sinn... :-(

DrBoogie aktiv_icon

19:51 Uhr, 07.06.2014

Doch, genau darin besteht der Trick.

Es ist ziemlich schwierig,

J_{3}

direkt zu berechnen. Aber es ist leicht zu zeigen, dass

\frac{d}{d k} J_{1} = - J_{3}

ist. Und dann kann man nutzen, dass man

J_{1}

auch direkt berechnen kann.
Das ganze kann man sogar allgemeiner nutzen:

\frac{d}{d k} J_{n} = - J_{n + 2}

für alle

n

.
Und deshalb reicht es, nur

J_{1}

direkt zu berechnen, um alle

J_{n}

mit ungeraden

n

zu bekommen.

J_{5}

bekommst Du z.B. durch Ableiten von

J_{3}

gonnabeph aktiv_icon

20:21 Uhr, 07.06.2014

Aha, noch hat es nicht Klick gemacht. Wie kommst du denn darauf das

J_{1} (k) = - J_{3} (k)

ist? In der Aufgabe steht dazu ja auch nichts ...

Da

J_{1} (k) = \frac{1}{2 k}

ist

J_{3} (k) = J_{1} ʹ (k) = \frac{1}{2 k^{2}}

Das wäre dann ja nur der Weg über die Ableitung des Ergebnisses. Nun soll ja auch noch durch Integration der Ableitung es gezeigt werden. D.h. jetzt muss ich

J_{3} (k)

einmal integrieren?

DrBoogie aktiv_icon

23:37 Uhr, 07.06.2014

Ich habe nirgendwo geschrieben, dass

J_{1} = - J_{3}

. Das stimmt nicht.
Was stimmt, ist

\frac{d}{d k} J_{1} = - J_{3}

. Warum - habe ich schon geschrieben, kann nur wiederholen:

\frac{d}{d k} J_{1} = \int_{0}^{\infty} \frac{d}{d k} (t e^{- k t^{2}}) d t = \int_{0}^{\infty} - t^{3} e^{- k t^{2}} d t = - J_{3}

.

Mehr als ich geschrieben habe, brauchst Du auch nicht zu machen.
Ich wiederhole:

J_{1}

wird direkt berechnet, es kommt

\frac{1}{2 k}

raus.
Dann kann man

\frac{d}{d k} J_{1}

direkt bestimmen (das ist, was in der Aufgabe "Ableiten des Ergebnisses der Integration" heißt), es kommt

\frac{- 1}{2 k^{2}}

raus.
Aber man kann die Formel von oben benutzen:

\frac{d}{d k} J_{1} = - J_{3}

(das ist, was in der Aufgabe "Integration der Ableitung" heißt).
Daraus folgt

J_{3} = - \frac{d}{d k} J_{1} = \frac{1}{2 k^{2}}

.

Mit

J_{3}

bist Du damit fertig.

Für

J_{5}

musst Du dann schon

J_{3}

nehmen und dasselbe machen wie mit

J_{1}

:
einerseits geht direkt

\frac{d}{d k} J_{3} = \frac{d}{d k} (\frac{1}{2 k^{2}}) = \frac{- 1}{k^{2}}

, andererseits ist

\frac{d}{d k} J_{3} = - J_{5}

(ich habe oben eine allgemeine Formel

\frac{d}{d k} J_{n} = - J_{n + 2}

angegeben, welche genauso gezeigt wird wie

\frac{d}{d k} J_{1} = - J_{3}

). Von daher ist

J_{5} = - \frac{d}{d k} J_{3} = \frac{1}{k^{2}}

gonnabeph aktiv_icon

10:17 Uhr, 08.06.2014

Schonmal danke für deine Ruhe und Mühe. Damit ist wohl die Aufgabe gelöst.
Müsste allerdings nicht bei

\frac{d J_{3}}{d k} = - \frac{1}{k^{3}}

herauskommen?

Da

\frac{d J_{3}}{d k} = \frac{d}{d k} (\frac{1}{2 k^{2}}) = \frac{d}{d k} (\frac{1}{2} k^{- 2}) = - 2 \frac{1}{2} k^{- 3} = - \frac{1}{k^{3}}

?

Ich werde mir den Lösungsweg noch einmal auf der Zunge zergehen lassen, evtl. wird es dann deutlicher wenn ich den ganzen Zusammenhang auf einmal sehen kann.

Noch eine generelle Frage zum vertauschen von Integration und Differentiation. Das Vertauschen gilt wohl nur bei Funktionen mehrerer Variablen? Was ist denn der Sinn und Zweck von dem vertauschen? So wie ich das verstanden kann man die Integration und Differentiation vertauschen wenn die Funktion stetig ist?

Schonmal vielen lieben Dank für deine kompetente Hilfe!

DrBoogie aktiv_icon

11:07 Uhr, 08.06.2014

Ja, natürlich

\frac{- 1}{k^{3}}

, mein Fehler. :-)

DrBoogie aktiv_icon

11:16 Uhr, 08.06.2014

"Das Vertauschen gilt wohl nur bei Funktionen mehrerer Variablen?"

Nun, Du brauchst eine Variable, nach welcher Du ableiten kannst. Und eine andere für die Integration. Also wenn Du nicht mindestens zwei Variablen hast, hast Du auch nichts zu vertauschen.

"Was ist denn der Sinn und Zweck von dem vertauschen?"

In erster Linie, um den schwierigen Berechnungen aus dem Weg zu gehen, wie Du gesehen hast.

"So wie ich das verstanden kann man die Integration und Differentiation vertauschen wenn die Funktion stetig ist?"

Nein, das reicht nicht, die Funktion muss auch natürlich nach der "richtigen" Variable differenzierbar sein. Andererseits ist Stetigkeit nicht zwingend erforderlich.
Leider es ist mit dem Vertauschen etwas komplizierter, es gibt keine "genau dann, wann"-Bedingung, aber einige hinreichende Bedingungen. Z.B. reicht definitiv, wenn die Funktion stetige partielle Ableitungen hat. Ich weiß nicht, was für Satz bei Euch dazu bewiesen oder erwähnt wurde.

gonnabeph aktiv_icon

12:05 Uhr, 08.06.2014

Ich bedanke mich vielmals, damit ist die Aufgabe erledigt. Besten Dank für deine kompetente Hilfe.

Bis zum nächsten mal! :-)

1171278

1171108

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?