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Integration von Vektoren

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Funktionalanalysis

Integration

Tags: Funktionalanalysis, Integration

mrt234 aktiv_icon

17:23 Uhr, 04.03.2011

Hallo Leute,
ich war mir nicht 100%ig sicher, in welchem Bereich ich meine Frage einordnen sollte. Bitte entschuldigt also, sollte ich im falschen Forum gepostet haben.

Ich habe eine Frage bezüglich der Integration mit Vektoren.
Und zwar behandeln wir hier an der FH gerade das magnetische Feld. Dieses wird, wie gewiss einige von euch wissen, als Vektor

H

bezeichnet, und ergibt sich nach der Formel im Bild.
Die Formel sagt aus, wie gross das magnetische Feld an einem bestimmten Punkt ist, an dem ein beliebig geformter elektrischer Leiter vorbei führt, in dem der Strom I fliesst. Dabei ist

r

der Ortsvektor des Punktes, in dem ich die magnetische Feldstärke berechnen möchte, und ds das Wegdifferential des Leiters, der an unserem Punkt vorbei führt, wenn ich die Sache richtig interpretiere.
Nun muss ich also über die gesamte Leiterlänge dieses Kreuzprodukt berechnen und integrieren, und sollte am Schluss dann den magnetischen Feldstärkevektor

H

erhalten.
Wie man dieses Integral genau berechnet, haben wir leider noch nicht behandelt, das kommt erst in einem späteren Semester dran. Bisher haben wir uns mit "einfach" geformten Leitern befasst, mit Hilfe dieses Integrals hingegen kann der Leiter jede beliebige Form annehmen (die ja dann durch den Ortsvektor beschrieben werden kann).
Mich interessiert die Sache aber unheimlich, und darum möchte ich gerne wissen, wie man solche Vektorintegrale berechnet. Ich habe mir extra ein Buch angeschafft, aber es ist noch ein wenig zu hoch teilweise, ich habe noch nicht alles verstanden.

Bitte sagt mir, ob meine Interpretation richtig ist:

Die 3 Komponenten des Vektors

s

sind Funktionen von einem Parameter, die ich nach diesem Parameter ableiten muss. So erhalte ich ds. Anschliessend muss das Kreuzprodukt aus ds und dem Vektor

r

gebildet werden - wobei die Komponenten des Ortsvektors auch wieder Funktionen von einem Parameter sind. Anschliessend Wird dieses Kreuzprodukt wieder integriert (nach was?).
Interpretiere ich das richtig?
Wie gesagt, die Theorie zu diesen Integralen haben wir noch nicht angeschaut, da man in der Praxis dieses Integral sowieso eher selten benötigt - meistens muss das magnetische Feld eines geraden oder Kreisförmigen Leiters berechnet werden, und die dazugehörige Formel ist sehr einfach.

Ich hoffe ihr könnt mir da ein wenig auf die Sprünge helfen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

OmegaPirat

21:03 Uhr, 04.03.2011

Hallo

Ich würde das unter die Vektoranalysis einordnen.
Funktionalanalysis trifft es nicht ganz, da sie sich mit unendlich dimensionalen Vektorräumen (wie Banachräume oder Hilberträume) und Abbildungen auf ihnen beschäftigt.

Die von dir vorgelegte Formel ist ein Spezialfall des Biot-Savart-Gesetzes.
Da ich Physik studiere, kenn ich mich damit aus. Was ich mich aber frage ist, wieso die Formel so angegeben ist, dass man damit nur das Feld an der stelle

r = 0

bestimmt. Besser müsste das so lauten (ich lasse den Vorfaktor weg, weil es nervig ist ihn mitzuschleppen und es darauf nicht ankommt.)

\vec{H} (\vec{r}) = \int d \vec{r'} \times \frac{\vec{r} - \vec{r'}}{{| \vec{r} - \vec{r'} |}^{3}}

Dabei ist

\vec{r}

der Ort an dem du das Magnetfeld auswertest und

\vec{r'}

ist ein Ort auf dem Leiter. Dabei summierst du über alle Orte des Leiters auf, was einer Integration gleich kommt.

Aus mathematischer Sicht handelt es sich um ein Linien -oder Wegintegral, welches es nun zu lösen gilt.

Deine Ausführungen klingen ganz vernünftig. Der Integrationsweg wird durch

\vec{r'}

bestimmt.

\vec{r'}

kannst du durch die Einführung eines Parameters

t

parametrisieren.
Es gilt dabei nun

\vec{r'} = \vec{r' (t)}

und

d \vec{r'} (t) = \frac{d \vec{r'} (t)}{d t} \cdot d t

Dies setzt du in das Integral ein. Es folgt

\int \frac{d \vec{r'} (t)}{d t} \times \frac{\vec{r} - \vec{r' (t)}}{{| \vec{r} - \vec{r' (t)} |}^{3}} \cdot d t

Jetzt hast du nur noch ein gewöhnliches Riemannintegral vorliegen. Die Integration erfolgt natürlich nach

t

.
Zur Übung kannst du ja mal versuchen damit das Feld einer kreisförmigen Leiterschleife zu berechnen. Auf diese Weise erhälst du auch das Feld einer stromdurchflossenen Spule.

mrt234 aktiv_icon

17:44 Uhr, 05.03.2011

Hallo,
danke erst einmal für deine Ausführungen. Jedoch ging mir das ganze jetzt schon ein wenig zu schnell ;-)

Aber ich versuche es nochmals zu interpretieren.
Dein

r'

sieht für mich so aus, als wäre es dasselbe wie mein s-Vektor.

s

ist eine Raumkurve, die den Verlauf des elektrischen Leiters beschreibt - der Vektor

s

hat die Komponenten

x (t), y (t)

und

z (t)

r

ist der Abstand des Punkts

P,

an dem ich die Feldstärke wissen möchte, von der Raumkurve

s

. Richtig?

P

kann man durch einen Ortsvektor

r'

eindeutig angeben - der Abstand

r

von

P

zur Raumkurve

s

(also der r-Vektor) wird dann durch die Differenz

s - r'

angegeben, was wieder ein Vektor ist, dessen 3 Komponenten Funktionen von

t

sind. Korrekt?
nun wird

s

(also unsere Raumkurve) abgeleitet, und zwar jede Komponente für sich nach

t

. So erhält man ds - ein Vektor mit 3 Komponenten, die wieder Funktionen von

t

sind. Aus diesem ds bildet man das Kreuzprodukt mit dem Differenzvektor

s - r',

was wieder für jede Komponente eine Funktion von

t

ergibt, die dann auch nach

t

integriert wird. Oder?
Nehmen wir an, ich berechne auf diese weise ein unbestimmtes Integral - dann kommt ja die Stammfunktion für die Feldstärke dabei heraus. Und dies wird ja natürlich ein vom Parameter

t

abhängiger Vektor sein - nur: was ist denn mein t? Was muss ich für

t

einsetzen, wenn ich über den gesamten Leiterweg zwischen zwei beliebigen Punkten integrieren will?

t

ist ein Skalar, also kann ich da nicht die Ortsvektoren der gewünschten Punkte einsetzen

: (

Kannst du mir weiterhelfen?

Das Thema finde ich unheimlich spannend; kennst du eine gutwe Site im Internet, wo da noch ein wenig mehr dazu beschrieben und erklärt wird? Kannst du mir vllt. auch Literatur empfehlen? Vektoranalysis für Anfänger oder sowas in der Art wäre schön :-)

Gruss

OmegaPirat

00:03 Uhr, 06.03.2011

Hallo
Du hast in deiner Erklärung ein wenig das

r

mit dem gestrichenen

r'

durcheinander gebracht, aber ich denke, dass du das richtige meinst.
Mein

r'

ist dein

s

und beides beschreibt den Verlauf des Leiters, während das nicht gestrichene

r

den Ort beschreibt an dem man das magnetische Feld betrachtet. Dieses

r

ist selbstverständlich keine INtegrationsvariable und somit bzgl der integration wie eine konstante zu behandeln.

Größtenteils stimm ich deiner Ausführung zu, jedoch bildet man letztlich nicht das Kreuzprodukt zwischen

d \vec{s}

und

\vec{r} - \vec{s},

sondern zwischen

\frac{d \vec{s}}{d t}

und

\vec{r} - \vec{s}

Es gilt ja schließlich

d \vec{s} = \frac{d \vec{s}}{d t} d t

Das

d t

zieht man aus dem Kreuzprodukt und es gibt nun die INtegrationsvariable, nämlich

t,

an.

Das

t

ist ein freier Parameter mit dem man irgendwie den Leiterverlauf mathematisch erfassen möchte. Hier hat man eine gewisse Freiheit,

d . h

. es gibt mehrere Möglichkeiten einen Weg mit einem Parameter

t

darzustellen. Neben einer funktionalen Abhängigkeit von

t,

wird

t

in der Regel auf ein Intervall eingeschränkt. Ich mach das an einem Beispiel deutlich
Ich betrachte dazu einfach eine kreisförmige Leiterschleife, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt.
So einen Kreis kann man am besten in Polarkoordinaten darstellen. Als parameter

t

wähle ich den Winkel

φ

zwischen x-Achse und Verbindungsgeraden zwischen Ursprung und einen Punkt dessen Ort ich beschreiben will, so wie es bei Polarkoordinaten üblich ist. Es ist also

t = φ

Beim Kreis ist der Abstand zwischen Ursprung und Kreislinie konstant. Ich bezeichne den Kreisradius mit R. Um den ganzen Kreis einmal abzulaufen, muss der Winkel

φ

alle Werte von 0 bis

2 \cdot π

annehmen.
Nun komm ich zum INtegral. (Den Vorfaktor lass ich wieder weg)

Es gilt:

H (\vec{r}) = \int \frac{\vec{d s} \times (\vec{r} - \vec{s})}{{| \vec{r} - \vec{s} |}^{3}} = \int \frac{\frac{\vec{d s}}{d t} \times (\vec{r} - \vec{s})}{{| \vec{r} - \vec{s} |}^{3}} d t

Das gilt noch völlig allgemein. Nun habe ich als Parameter

t

für den Kreis den Winkel

φ

gewählt

Den Kreis kann ich damit darstellen durch

s (φ) = R \cdot (\begin{matrix} cos (φ) \\ sin (φ) \end{matrix})

\Rightarrow \frac{d s}{d φ} = R \cdot (\begin{matrix} - sin (φ) \\ cos (φ) \end{matrix})

Dies setz ich ein

\Rightarrow H (\vec{r}) = \int \frac{\frac{\vec{d s}}{d φ} \times (\vec{r} - \vec{s})}{{| \vec{r} - \vec{s} |}^{3}} d φ = R \cdot \int_{0}^{2 π} (\begin{matrix} - sin (φ) \\ cos (φ) \end{matrix}) \times (\begin{matrix} x - R cos (φ) \\ y - R sin (φ) \end{matrix}) \frac{1}{{| (\begin{matrix} x - R cos (φ) \\ y - R sin (φ) \end{matrix}) |}^{3}} d φ

Jetzt musst du nur noch das Vektorprodukt und den Betrag im nenner berechnen. Dann erhälst du einen integranten bestehend aus zwei vektorkomponenten, die du jede für sich nach

φ

integrieren musst. Zu beachten ist, dass die Integrationsgrenzen 0 und

2 \cdot π

sich daraus ergeben, dass diese werte der winkel

φ

durchlaufen muss, um einmal um den ganzen Kreis rumzukommen.

Die Integrale, welche man dadurch erhält, sind meistens übel. Bei der einfachen Leiterschleife ist es aber noch analytisch lösbar.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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