Integration von e^(-2*x)*cos(x) - "Endlosschleife"

Hallo!

Ich soll das Integral von ${\displaystyle {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ ausrechnen und möchte/soll dazu partiell integrieren.

Die Formel zur partiellen Integration ist ja:

${\displaystyle \int \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\prime \left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)-\int \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\prime \left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Also ist

f(x) = ${\displaystyle {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$
f'(x) = ${\displaystyle -2{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

g(x) = sin(x)
g'(x) = cos(x)

Also ist das Integral ja:

${\displaystyle {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)-\int {-2\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

und, wenn ich die -2 aus dem neuen Integral vorziehe:

${\displaystyle {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+2\int {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Nun soll ich wieder die Selbe Funktion integrieren wie zuvor (außer, dass da statt einem Kosinus nun ein Sinus steht, dessen Stammfunktion ja wieder Kosinus ist). Das heißt, ich befinde mich in einer Art Endlosschleife. Ich könnte mich dumm und dusslig integrieren, ich würde niemals zu einem Ende kommen (dass es aber geben muss).
Wie kann ich dem Problem entgehen?

Danke für eure Hilfe.

Liebe Grüße,
Christian.

das leuchtet ein, danke!